 |
Тождества алгебры множеств
|
|
|
|
Министерство образования и науки Pоccийcкой Федеpации
Федеральное агенство по образованию
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
Таганpогcкий гоcудаpcтвенный радиотеxничеcкий унивеpcитет
В.И.ФИHАЕВ
МОДЕЛИ CИCТЕМ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ
Таганpог 2005
УДК 518.5.001.57(075.8)
В.И.Финаев. Модели систем принятия решений: Учебное поcобие. -Таганpог: Изд-во ТРТУ, 2005. - 118 c.
ISBN
Учебное поcобие пpедназначено для cтудентов, обучающихся по направлениям: 220200 «Автоматизация и управление», 220300 «Автоматизированные технологии и производства», 220400 «Мехатроника и робототехника», 230100 «Информатика и вычислительная техника». В учебном поcобии приведены оcновные теоpетичеcкие сведения из теории множеств, нечеткой логики, моделирования ситуационых систем при нечетком определении параметров. Приведены модели нечетких конроллеров.
Табл. 4. Ил. 68. Библиогp.: 13 назв.
Печатаетcя по pешению pед.-изд. cовета Таганpогcкого гоcудаpcтвенного pадиотеxничеcкого унивеpcитета.
Рецензенты:
Региональный (областной) центр новых информационных технологий, директор центра, проректор по информатике, докт. техн. наук, профессор А.Н.Целых.
Ромм Я.Е., докт. техн. наук, профессор, зав. кафедрой информатики ТГПИ.
ISBN Ó Таганрогский государственный
радиотехнический университет, 2005
CОДЕPЖАHИЕ
ВВЕДЕHИЕ 4
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 6
1.1. Множества 6
1.2. Подмножества 7
1.3. Операции над множествами 8
1.4. Тождества алгебры множеств 11
1.5. Прямое произведение и проекция множеств 11
1.6. Соответствия 13
|
|
|
1.7. Отображения 16
1.8. Отображение как функция 18
1.9. Отношения 22
2. НЕЧЕТКИЕ МНОЖЕСТВА 28
2.1. Определение нечеткого множества 28
2.2. Функции принадлежности 35
2.3. Нечеткие предикаторы и кванторы 40
2.4. Нечеткие высказывания 40
2.5. Нечеткие логические формулы 41
2.6. Операции над нечеткими множествами 43
2.7. Hечеткие соответствия 46
2.8. Нечеткие отношения 52
2.9. Нечеткие и лингвистические переменные 58
3. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА 64
3.1. Нечеткая операция «И» 64
3.2. Нечеткая операция «ИЛИ» 65
3.3 Нечеткая операция «НЕ» 67
3.4. Алгебра нечетких выводов 68
3.5. Композиция нечетких отношений 73
3.6. Агрегация локальных выводов и дефазификация 78
4. МОДЕЛИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 85
4.1. Структура системы принятия решений 85
4.2. Модель классификации 87
4.3. Модель вычисления степени истинности нечетких правил вывода 98
4.4. Ситуационная модель принятия решений 105
5. НЕЧЕТКИЕ КОНТРОЛЛЕРЫ 113
5.1. Алгоритм функционирования 113
5.2. Примеры моделей нечетких контроллеров 117
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 127
Нельзя объять необъятное.
Козьма Прутков
ВВЕДЕНИЕ
Моделирование сложных систем требует знаний из области естественно гуманитарных дисциплин, в первую очередь знаний математики и физики. Методами системного анализа позволяют разработать модель. Исследование модели методами системного анализа позволяет получить рекомендации относительно поведения реального объекта. Моделиpование - творческий процесс, требующий определенного искусства, математических знаний, практических навыков и умения пpедвидеть pезультат иccледований.
При управлении сложными нелинейными объектами применяют два подхода. Первый подход состоит в том, что разрабатывают для объекта математическую модель, которая может иметь достаточно сложную форму, содержать большое число эмпирических коэффициентов, идентификация которых может задачей, имеющей очень сложное решение или не имеющей решение вообще. Примеров подобных объектов много – это ректификационные колонки при перерботке нефти, печи в металлургии, цементные печи, системы управления подачей топлива в двигатели внутреннего сгорания и т.д.
|
|
|
Разработанные с применением данного подхода системы управления не обеспечивают требуемого качества управления.
При другом подходе, применяя эвристические алгоритмы, используя показания контрольно-измерительных приборов, опыт и интуицию инженерно-технического персонала, разрабатывают системы управления в виде нечетких контроллеров, которые справляются с управлением сложными объектами достаточно уверенно. Впервые этот подход получил инженерное воплощение при управлении цементной печью.
Так как язык нечеткой логики близок по структуре к естественному языку, то это упрощает процедуры построения эвристических алгоритомов для решения задач управления сложными объектами. При применении нечеткой логики выделяют две практические области:
- разработка нечетких регуляторов, которые в прямом контуре управления выполняют функции линейного преобразователя, т.е. могут реализовывать линейные функции П-, ПИ-, ПИД- и других регуляторов;
- разработка комбинированных нечетких регуляторов, причем в прямом контуре управления имеются традиционные регуляторы, а в дополнительном контуре имеются нечеткие системы, позволяющие подстраивать коэффициенты усиления прямого контура к изменяющимся условиям функционирования объекта.
Оcновные задачи куpcа данного пособия cледующие:
- изучение cтудентом четких и нечетких множеств, пpименение сведений их котоpыx необходимо для формализации параметров пpи pешении задач моделиpования;
- изучение нечеткой логики для формализации естественного языка при описании работы специалистов;
- изучение моделей ситуационных систем, параметры которых формализованы методами теории нечетких множеств, а управления осуществляется путем принятия решений при формализации правил методами нечеткой логики;
- изучение моделей нечетких контроллеров.
1. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ
Множества
Под множеством понимается совокупность различаемых друг от друга объектов, которые возможно рассматривать по существующим признакам как единое целое. В множестве не должно быть одинаковых, неразличимых элементов. Множества бывают конечными, если они состоят из конечного числа элементов, и бесконечными в противном случае. Объекты множеств называют элементами множества.
|
|
|
Множества принято обозначать заглавными буквами латинского или русского алфавита, а элементы множеств - строчными буквами. Элементы множества могут быть обозначены одной и той же буквой, но с индексами.
Множества задаются двумя способами: перечислением и описанием элементов.
Если все элементы 
множества А задаются в виде списка, т.е. A={a1, a2, …,an}, то такой способ задания называется перечислением. Принадлежность элементов ai множеству А символически обозначается в виде 
что читается «ai принадлежит А». Если некоторый объект aj не принадлежит множеству A, то это символически обозначается в виде 
Элементы могут принадлежать множеству в силу некоторого общего их свойства. Если Р(х) – свойство элементов х, то множество А элементов х, обладающих свойством Р(х), задается способом описания. Символьное задание множества способом описания имеет вид А={хÎВ/Р(х)}, где В – произвольное множество. Например, если В – множество целых чисел, то множество А целых чисел в интервале (1,10) определится следующим образом: А={хÎВ/1<x<10}.
Число элементов, принадлежащих множеству, определяет мощность множества. Например, если А={а1, а2, а3, а4, а5, а6,}, то мощность множества А, обозначаемая ½А½, будет равна шести.
Множество, не содержащее никаких элементов, называется пустым и имеет обозначение Æ.
Если все элементы множества А можно пронумеровать в виде бесконечной последовательности а1, а2, …, аn, …, причем каждый элемент имеет только один номер, то такое множество называется счетным.
Бесконечные множества, элементы которых невозможно пронумеровать, называют несчетными множествами. Примером может служить множество точек на отрезке [a,b].
Если множество не является своим собственным элементом, то такое множество называется ординарным. Например, множество всех натуральных чисел является ординарным.
|
|
|
Множества, содержащие сами себя в качестве элементов, называются экстраординарными. Например, множество всех абстрактных понятий является абстрактным понятием.
Два множества называются равными, если они содержат одни и те же элементы. Множество А не равно множеству В (А¹В), если в множестве А имеются элементы, не принадлежащие множеству В, либо в множестве В имеются элементы, не принадлежащие множеству А.
Символ равенства множеств обладает свойствами:
а) рефлексивности (лат. reflexio – отражение) А=А;
б) симметричности: если А=В, то В=А;
в) транзитивности (лат. transitus – переход): если А=В и В=С, то А=С.
Подмножества
В математической логике имеются символы, которые возможно использовать для определения подмножеств:
" - квантор общности, означающий «для всех», «любой», «каков бы ни был»;
$ - квантор существования, означающий «существует такой» или «имеется такой»;
® - импликация (лат implicatio - сплетение, переплетение), означающая «влечет за собой»;
« - эквивалентность, означающая «А эквивалентно В» или «А тогда и только тогда, когда В».
Множество А является подмножеством В, если любой элемент аÎА принадлежит и множеству В (аÎВ). Используя символы алгебры логики, определение подмножества можно записать в виде логического выражения "а[аÎА®аÎВ], которое читается: «для любого а утверждение «а принадлежит А» влечет за собой утверждение «а принадлежит В». Принадлежность подмножества А множеству В определяется также записью АÍВ, что читается: «А является (входит) в В», а символ Í является символом включения. Если существует хотя бы один элемент множества А, не принадлежащий множеству В, то обозначают АËВ. Если АÍВ и А¹В, то говорят, что А строго включается в В и пишут АÌВ.
Свойства подмножества следующие:
а) рефлексивность: АÍА;
б) транзитивность: [АÍВ и ВÍС]®АÍС;
в) ÆÍА – любое множество содержит пустое множество.
Множества Æ и А называют несобственными подмножествами множества А.
Операции над множествами
1.3.1. Объединение множеств. Объединением множеств А и В (АÈВ) называется множество С, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Формально объединение можно записать в виде выражения:
C=AÈB={aêaÎA или aÎB}.
Геометрическая иллюстрация объединения приведена на рис. 1.1.
Рис. 1.1
Если имеется совокупность (система) М, содержащая множества А1, А2,…, Аn, т.е. М={А1, А2,…, Аn}, то объединение этих множеств:
|
|
|
представляет собой множество, состоящее из всех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств совокупности М.
Для объединения множеств справедливы свойства:
- коммутативности (лат. commutare – менять, переменять): АÈВ=ВÈА;
- ассоциативности (лат. associare - присоединять): (АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС)=АÈВÈС;
- идемпотентности: А=АÈА.
Введем понятие универсального (полного, универсума) множества I. Это некоторое множество, содержащее все рассматриваемые множества, которые входят в I, как подмножества.
Тогда очевидно, что AÈÆ=A; AÈI=I, AÍAÈB; BÍAÈB.
1.3.2. Пересечение множеств. Пересечением множеств А и В (АÇВ) называется множество С, состоящее из тех и только тех элементов, соответственно принадлежащих множеству А и множеству В.
Формально это можно записать выражением: С=АÇВ={а |аÎА и аÎВ}.
Иллюстрация пересечения множеств А и В диаграммой Эйлера – Венна приведена на рис. 1.2.
Рис. 1.2
Для системы М={А1, А2,…, Аn} справедливо:
.
Также выполняются соотношения:
AÇÆ=Æ; AÇI=А, AÇBÍА; AÇBÍВ.
Для пересечения множеств справедливы свойства:
- коммутативности: АÇВ=ВÇА;
- ассоциативности: (АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)=АÇВÇС;
- идемпотентности: А=АÇА.
1.3.3. Разность множеств. Разностью множеств А и В (А\В) называется множество С, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат А и не принадлежат В. Формально А\В определится выражением: С=А\В={а |аÎА и аÏВ}. На диаграмме Эйлера – Венна разность множеств А\В имеет вид, приведенный на рис. 1.3. Очевидно, что А\ВÍА, В\АÍВ, А\Æ=А, Æ\А=Æ, А\I=Æ.
Симметрической разностью множеств А и В (А 
В) называется множество С, элементы которого принадлежат множеству А\В или множеству В\А. Симметрическая разность С=А В на диаграмме Эйлера – Венна иллюстрируется рис. 1.4.
Рис. 1.3 Рис. 1.4
1.3.4. Дополнение множеств. Множество 
, определяемое из соотношения 
, называется дополнением множества А до универсального множества I. Формально это запишется выражением 
Очевидно, что 
, 
, 
, 
. Дополнение множеств обладает свойствами инволюции (лат. involutio – свертывание), что формально запишется в виде 
.
1.3.5. Разбиение множества. Пусть имеется множество С и система множеств М={А1, А2,…, Аn}. Система (семейство) множеств М называется разбиением множества С, если она удовлетворяет условиям:
а) любое множество АiÎМ является непустым подмножеством множества С, т.е. "АÎМ [AÍM], (A¹Æ);
б) любые два множества Аi и Аj, (i¹j), АiÎМ, АjÎМ являются непересекающимися, т.е. " Аi, АjÎМ [Аi¹Аj ® Аi ÇАj=Æ], (i¹j);
в) объединение всех множеств, входящих в разбиение М, дает множество С, т.е.
.
Иллюстрация разбиения приведена на рис. 1.5.
Элементы разбиения М называются классами разбиения. Разбиение М множества С называется поэлементным, если каждый класс разбиения М является одноэлементным множеством. Разбиение М множества С называется целым, если оно содержит один класс, совпадающий с множеством С. Указанные разбиения носят еще название тривиальных.
Рис. 1.5
Тождества алгебры множеств
Операции пересечения, объединения и дополнения позволяют составлять из множеств выражения, называемые алгебраическими. Если два или несколько алгебраических выражений, составленных из ряда множеств, представляют в итоге одно и то же множество, то их можно приравнять друг к другу, получая алгебраическое тождество. Основные тождества алгебры множеств следующие:
- дистрибутивность (анг. distribution – распределение, размещение):
(АÈВ)ÇС=(АÇВ)È(ВÇС); (АÇВ)ÈС=(АÈВ)Ç(ВÈС);
- ассоциативность:
(АÈВ)ÈС=АÈ(ВÈС)=АÈВÈС; (АÇВ)ÇС=АÇ(ВÇС)=АÇВÇС;
- закон де Моргана:
, 
, 
, (A\В)\С=(А\С)\(В\С), АÇ(В\С)=(АÇВ)\(АÇС).
Доказательство справедливости перечисленных выше множеств легко просматривается на геометрической иллюстрации с помощью диаграмм Эйлера – Венна.
|
|
|
