Нечеткие и лингвистические переменные

 

2.9.1. Определение. Методами теории нечетких множеств описывают смысловые понятия, например, для понятия «надежность работы узла» можно определить такие составляющие, как «небольшая величина надежности узла», «средняя величина надежности узла», «большая величина надежности узла», которые задаются как нечеткие множества на базовом множестве, определяемом всеми возможными значениями величин надежности.

Обобщением описания лингвистических переменных с формальной точки зрения является введение нечетких и лингвистических переменных [3,4,5,6].

Н ечеткой переменной называется тройка множеств , где a - наименование нечеткой переменной, X - область определения, - нечеткое подмножество в множестве X, описывающее ограничения на возможные значения переменной a.

Лингвистической переменной называется набор множеств <b,T(b),X,G,M>, где b - название лингвистической переменной, T(b) – множество лингвистических (вербальных) значений переменной b, называемое еще терм-множеством лингвистической переменной, X - область определения, G - синтаксическое правило, имеющее форму грамматики, порождающее наименования aÎT(b) вербальных значений лингвистических переменных b, М - семантическре правило, которое ставит в соответствие каждой нечеткой переменной a нечеткое множество, - смысл нечеткой переменной a.

Из определения следует, что лингвистической переменной называется переменная, заданная на количественной (измеряемой) шкале и принимающая значения, являющиеся словами или словосочетаниями естественного языка общения. Нечеткие переменные описывают значения лингвистической переменной. На рис. 2.20 показана взаимосвязь основных понятий.

Таким образом, лингвистическими переменными можно описать трудноформализуемые понятия в виде качественного, словесного описания. Лингвистическая переменная и все ее значения связываются при описании с конкретной количественной шкалой, которая по аналогии с базовым множеством иногда называется базовой шкалой.

 

Рис. 2.20

Применяя лингвистические переменные, можно формализовать качественную информацию в системах управления, которая специалистами (экспертами) формулируется в словесной форме. Это позволяет строить нечеткие модели систем управления (нечеткие регуляторы).

2.9.2. Вид функций принадлежности. Рассмотрим требования, которые выдвигаются к виду функций принадлежности нечетких множеств, описывающих термы лингвистических переменных.

Пусть лингвистическая переменная <b,T,X> содержит базовое терм-множество T={T_i}, . Нечеткая переменная, соответствующая терму T_i, задана множеством , где нечеткое множество . Определим множество С_i как носитель нечеткого множества . Будем считать, что XÍR₁, где R₁ - упорядоченное множество действительных чисел. Обозначим нижнюю границу множества X через infX=x₁, а верхнюю границу - supX=x₂.

Множество T упорядочим согласно выражению

"T_i,T_jÎT i>j«($xÎC_i)("yÎC_j)(x>y). (2.5)

Выражение (2.5) требует, чтобы терм, который имеет носитель, расположенный левее, получил меньший номер. Тогда терм-множество всякой лингвистической переменной должно удовлетворять условиям:

(2.6)

(2.7)

("T_iÎT)($xÎX)( ); (2.8)

("b)($x₁ÎR₁)($x₂ÎR₂)("xÎX)(x₁<x<x₂). (2.9)

Условие (2.6) требует, чтобы значения функций принадлежности крайних термов (T₁ и T₂) в точках x₁ и x₂ соответственно равнялись единице и чтобы не допускался вид колоколобразных кривых, как это показано на рис. 2.21.

 

Рис.2.21

 

Условие (2.7) запрещает в базовом множестве X пар термов типа T₁ и T₂, T₂ и T₃. Для пары T₁ и T₂ отсутствует естественная разграниченность понятий. Для пары T₂ и T₃ отрезку [a,b] не соответствует никакое понятие. Условие (2.7) запрещает существование термов типа T₄, поскольку каждое понятие имеет по крайней мере один типичный объект. Условие (2.8) определяет физическое ограничение (в рамках задачи) на числовые значения параметров.

На рис. 2.22 приведен пример задания функций принадлежности термов «малое значение цены», «небольшое значение цены», «среднее значение цены», «достаточно большое значение цены», «большое значение цены» лингвистической переменной «цена товара».

2.9.3. Универсальные шкалы. Функции принадлежности строятся по результатам опросов экспертов. Однако порядок использования нечетких множеств, построенных по результатам опроса экспертов, имеет недостаток, который заключается в том, что изменение условий функционирования модели (объекта) требует корректировки нечетких множеств. Корректировка может быть осуществлена по результатам повторного опроса экспертов.

 

 

Рис. 2.22

Одним из путей преодоления данного недостатка является переход к универсальным шкалам измерения значений оцениваемых параметров. Известная методика построения универсальных шкал предполагает описание частоты явлений и процессов, которая на качественном уровне в естественном языке определяется следующими словами и словосочетаниями: «никогда», «чрезвычайно редко», «редко», «ни редко ни часто», «часто», «очень часто», «почти всегда» (или им подобными). Человек этими понятиями пользуется для оценки субъективных частостей событий (отношение числа событий, характеризованных понятием, к общему числу событий).

Универсальная шкала строится на отрезке [0,1] и представляет собой ряд пересекающихся колоколообразных кривых, соответствующих шкалируемым частотным оценкам. Универсальную шкалу лингвистической переменной для заданного оцениваемого параметра объекта управления строят по следующей процедуре.

1. По данным экспертного опроса определяется минимальное x_min и максимальное x_max значения переменной шкалы X.

2. Строятся по результатам экспертного опроса функции принадлежности нечетких множеств, описывающих значения лингвистической переменной, определенной на шкале X. На рис. 2.23 показан пример построения функций принадлежности , где a₁, a₂, a₃ - некоторые названия нечетких переменных.

3. Точки (x_min,0) и (x_max,1) соединяются прямой линией p₀, которая является функцией отображения p₀:X®[0,1].

4. Переход от шкалы относительных частот появления событий к частотным оценкам, называемым квантификаторами, происходит следующим образом.

Для произвольной точки z на универсальной шкале строится ее прообраз на шкале X. Затем по функциям принадлежности нечетких множеств, соответствующих термам a₁, a₂, a₃, определяются значения , которые принимаются в качестве значений соответствующих функций принадлежности в точке z на универсальной шкале . Функция p (p=p₀ в рассмотренном примере) определяется экспертным опросом, т.к. ее выбор влияет на адекватность модели исследуемому объекту.

 

Рис. 2.23

 

2.9.4. Множественные функции отображения. Однозначное определение функции отображения p ограничивают возможности одновременного учета разных критериев в системе управления, которые могут даже находиться в антогонизме по отношению друг к другу, а также возможность одновременного учета различных условий управления, определяемых свойствами управляемого объекта.

Учет различных условий и критериев определяется субъективным подходом к решению задачи. Если же принять функцию отображения однозначного вида, то тем самым различные точки зрения будут сведены к «общему знаменателю» или фактически отвергнуты. Практика показывает, что при управлении трудноформализуемыми процессами учет всех вариантов субъективного воззрения повышает качество управления, увеличивая устойчивость к различного рода возмущениям. Однако следует заметить, что почти никогда не удается учесть в людях все условия, влияющие на выбор управления, и все характеристики объекта. Рассмотрим, как осуществляется формализованный учет условий управления при опросе экспертов в виде множественных функций отображения.

Пусть по опросам экспертов количественно и качественно определен состав состояний исследуемого объекта. Оценка состояний объекта производится по значениям признаков y_iÎY={y₁,y₂,…,y_p}.

Все учесть невозможно, поэтому при оценке состояний лучше использовать нечеткие категории, а нечеткие определения значений параметров следует производить с известной степенью неуверенности в правильности определений. Действительно, всегда можно предположить, что есть некоторое множество признаков , не указанных экспертами по разным причинам: про них забыли; эксперты считают, что эти признаки не влияют на точность; эти параметры нельзя оценить, следствие сложностей технического характера.

Функциям отображения p_iÎP={p₁,p₂,…,p_b} сопоставляются степени уверенности b(p_i)Î [0,1], которые задаются экспертами. Также каждой функции отображения p_i сопоставляется вес a(p_i), который соответствует уровню компетентности эксперта. Значения весов a(p_i) определяются числами отрезка [0,1]. Таким образом, множественная функция отображения P={p₁,p₂,…,p_b} состоит из набора функций отображений p_i, каждой из которых ставится в соответствие степень g(p_i), определяемая как конъюнкция степеней компетентности и уверенности в правильном определении функций отображения p_i, т.е. g(p_i) = a(p_i)&b(p_i).

Практическое использование множественных функций показало, что в пределах определенной компетентности экспертов построенная множественная функция отображения хорошо согласуется с их индивидуальными мнениями о наиболее правдоподобном соответствии нечетких понятий точкам предметной шкалы X.

 

НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА

 

Нечеткая операция «И»

 

Задание нечетких множеств позволяет обобщить четкие логические операции в их нечеткие аналоги. Нечетким расширением операции «И» является триангулярная норма Т, Другим название T –нормы яляется S –конорма. На рис. 3.1 приведено схемотехническое предствление T –нормы.

 

 

Рис. 3.1

 

Нечеткая операция «И» в общей форме определяется как отображение:

; ; ; ,

для которых выполняются аксиомы:

- аксиомы граничных условий T –нормы:

; ; (3.1)

; ; (3.2)

- аксиомы объединения (перечечения):

; (3.3)

; (3.4)

- аксиома упорядоченности:

. (3.5)

В теории нечетких множеств существует бесчисленное количество нечетких операций «И», которые определяются способами задания операции (Т) при выполнении условий (3.1) - (3.2). В теории нечеткого управления применимы следующие способы задания операции (Т), перечисленные ниже.

Логическое произведение [Заде, 1973 г.]:

.

, "xÎ R. (3.6)

Алгебраическое произведение [Бандлер, Кохоут, 1980 г.]:

, "xÎ R, (3.7)

где «.» - произведение, принятое в классической алгебре.

Граничное произведение [Лукашевич, Гилес, 1976 г.]:

_, (3.8)

где - символ граничного произведения.

Сильное, или драстическое (drastic), произведение [Вебер, 1983 г.]:

(3.9)

где D - символ сильного произведения.

На рис. 3.2 показана функция принадлежности при логическом, алгебраическом, граничном и сильном произведении нечетких множеств.

Рис. 3.2

 

Нечеткая операция «ИЛИ»

 

Нечетким расширением операции «ИЛИ» является S –норма. Иногда применяют название T –конорма. На рис. 3.3 приведено схемотехническое предствление S –нормы.

Нечеткая операция «ИЛИ» определяется как отображение

,

для которого выполняются отображения:

- аксиомы граничных условий T –нормы:

, _; (3.10)

, ; (3.11)

- аксиомы объединения (перечечения):

; (3.12)

; (3.13)

- аксиома упорядоченности:

; (3.14)

 

 

Рис. 3.3

 

Из бесконечного числа нечетких операций, удовлетворяющих аксиомам (3.10) – (3.14), в теории управления нашли применением следующие операции, перечисленные ниже.

Логическая сумма [Заде, 1973 г.]:

.

, "xÎ R. (3.15)

Алгебраическая сумма [Бандлер и Кохоут, 1980 г.]:

, "xÎ R, (3.16)

Граничная сумма [Лукашевич, Гилес, 1976 г.]:

_, (3.17)

Сильная, или драстическое (drastic), сумма [Вебер, 1983 г.]:

(3.18)

Сравнение аксиом T –нормы с аксиомами S –нормы показывает, что различие в них состоит только в аксиомах граничных условий.

На рис. 3.4 показана функция принадлежности при логической, алгебраической, граничной и сильной сумме нечетких множеств.

 

Рис. 3.4

 

Нечеткая операция «НЕ»

 

Операция нечеткого «НЕ» определяется как отображение , для которого выполняются аксиомы:

; (3.19)

; (3.20)

; (3.21)

Множество отображений, удовлетворяющих аксиомам (3.19) – (3.21), являются нечетким отрицанием. Операция нечеткого отрицания в виде схемы показана на рис. 3.5.

 

Рис. 3.5

Из бесконечного числа нечетких операций «НЕ», удовлетворяющих аксиомам (3.19) – (3.21), в теории управления нашли применение следующие операции, перечисленные ниже.

Нечеткое «НЕ» по Заде (1973) определяется как вычитание из единицы:

. (3.22)

Нечеткое «НЕ» по Сугено (1977) или l-дополнение определяется в виде формулы

. (3.23)

При l=0 уравнение (3.23) совпадает с уравнением (3.22).

Нечеткое «НЕ» по Ягеру (1980) определяется в виде формулы:

, (3.24)

где p>0 – параметр. При p=1 уравнение (3.24) совпадает с уравнением (3.22).

Для Т- норм и S- норм могут существовать различные варианты отрицаний из-за бесконечного числа возможных нечетких операций «НЕ». Однако, желательно выбирать такие варианты отрицаний, которые удовлетворяют условиям:

; (3.25)

. (3.26)

Эти условия по аналогии с четкой логикой называют нечеткими законами де Моргана. Операции (3.25) и (3.26) называют взаимно дуальными, т.к. в теории нечетких множеств доказывается, что из (3.25) следует (3.26) и, наоборот, из (3.26) следует (3.25).

Взаимно дуальными являются также следующие нечеткие операции:

; (3.27)

; (3.28)

; (3.29)

. (3.30)

 

Алгебра нечетких выводов

 

3.4.1. База нечетких правил. В нечеткой логике существует понятие нечеткого предложения (fuzzy proposition). Нечеткое предложение определяется в виде высказывания «». Символ «x» обозначает физическую величину (ток, напряжение, давление, скорость и прочее), символ «» обозначает лингвистическую переменную (ЛП), а символ «p» - аббревиатура proposition – предложение. Например, в высказывании «величина тока есть большая» физической переменной x является «величина тока», которая может быть измерена датчиком тока. Нечеткое множество определено ЛП «большая» и формализовано функцией принадлежности m_А(х). Связке «есть» соответствует операция упорядоченности в виде равенства, которая обозначается символом «=». Получает формализованный вид предложение « ».

Нечеткое предложение может состоять из нескольких отдельных нечетких предложений, соединенных между собой связками «И», «ИЛИ». Выбор логических связок «И», «ИЛИ» от смысла и контекста предложений, от взаимосвязи между ними. Отметим, что операции нечеткого «И» и «ИЛИ» по Заде (формулы (3.6) и (3.15)) в теории управления предпочтительны по отношению к остальным, т.к. они не имеют избыточности. Когда нечеткие предложения не являются эквивалентными, но коррелированны и взаимосвязаны, то возможно применение Т- норм и S- норм по Лукашевичу (формулы (3.8) и (3.17)).

Предложение p может быть представлено как нечеткое отношение Р с функцией принадлежности: . Для составления нечеткого предложения, состоящего из нескольких отдельных нечетких предложений, соединенных между собой связками «И», используют индикатор «если». В результате получаем систему условных нечетких высказываний:

.

Нечеткие предложения называют условиями или предпосылками.

Множество условий позволяет построить множество выводов или заключений. В этом случае применяют индикатор «тогда».

Продукционное нечеткое правило (fuzzy rule) – это совокупность условий и выводов:

R₁: если x₁= и x₂= и …, тогда y₁= и y₂= и …

Или

……………………………………………………………,

где символ R₁ – аббревиатура «rule» - правило.

Например [11], правило при управлении температурой воды сформулировано в следующем виде: «R₁: если температура воды есть холодная и температура воздуха есть холодная, тогда проверни вентиль горячей воды влево на большой угол и вентиль холодной воды вправо на большой угол».

Нечеткие условия для решения задачи:

- x₁ - температура воды (измеряется датчиком); - холодная;

- x₂ - температура воздуха (измеряется датчиком); - холодная;

- нечеткие условия вывода:

- y₁ - угол поворота вентиля влево, - большой;

- y₂ - угол поворота вентиля вправо, – большой.

Данному лингвистическому нечеткому правилу соответствует формализованная запись:

R₁: если x₁= и x₂= , тогда y₁= и y₂= , (3.31)

где , , и – нечеткие множества, заданные функциями принадлежности.

Совокупность нечетких продукционных правил образует базу нечетких правил , где R_i: если …, тогда …; . Для базы нечетких правил справедливы следующие свойства: непрерывность, непротиворечивость, полнота.

Непрерывность определена понятиями: упорядоченная совокупность нечетких множеств; прилегающие нечеткие множества.

Совокупность нечетких множеств {A_i} называется упорядоченной, если для них задано отношение порядка: «<»:A₁<…<A_i-1<A_i<A_i+1<….

Если совокупность нечетких множеств { } упорядочена, то множества и , и называются прилегающими при условии, что эти нечеткие множества являются перекрывающимися.

База нечетких правил называется непрерывной, если для правил

R_k: если x₁= и x₂= , тогда y= и k’¹k

выполнены условия:

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ Ù и являются прилегающими;

‑ и являются прилегающими.

Непротиворечивость базы нечетких правил рассмотрим на примере [11]. База нечетких правил для управления роботом задана в виде:

………………………………….

Или

R_i: если препятствие впереди, то двигайся влево,

или

R_i+1: если препятствие впереди, то двигайся вправо,

Или

……………………………………

База правил противоречива.

Пример непротиворечивой базы нечетких правил следующий:

R₁: если x₁= или x₂= , тогда y= ;

R₂: если x₁= или x₂= , тогда y= ;

R₃: если x₁= или x₂= , тогда y= .

Если правила содержат два условия и один вывод, то эти правила представляют собой систему с двумя входами x₁ и x₂ и одним выходом y. Данная система может быть представлена в матричной форме:

x2	x1
		y=
	y=
		y=

База нечетких правил непротиворечива.

Для противоречивой базы нечетких правил матричная форма имеет вид:

x2	X1
			I
			,
	,

Противоречивая база нечетких правил приводит к неоднозначности выводов при x₁= , x₂= и x₁= или x₂= .

Полнота базы нечетких правил связана с полнотой знаний, которые содержатся в базе правил. Если база нечетких правил неполная, то в ней для определенных ситуаций отсутствуют связи между входами и выходами. Но может быть, что результат вывода из правил обусловлен свойствами нечетких множеств, а не из-за неполноты базы правил. Мерой полноты базы нечетких правил является критерий:

,

где x – физическая переменная входных данных (условий); N_x - число условий в правиле; N_r - число правил в базе правил.

Существует классификация баз нечетких правил по полноте знаний:

- CM(x)=0 – неполная база правил;

- 0<CM(x)<1 – база правил незначительно полная;

- CM(x)=1 – база правил точно полная;

- CM(x)>1 – база правил сверхполная (избыточная).

При разработке алгоритмов и программного приложения для нечетких систем управления следует вначале осуществить проверку базы нечетких правил на непрерывность, непротиворечивость и полноту, а затем приступать к разработке программных модулей.

3.4.2. Нечеткая импликация. Продукционное правило (3.31) для одного вывода может быть представлено в виде , где символ «®» - нечеткая импликация; - функции принадлежности нечетких множеств , соотвественно; - функция принадлежности нечеткого множества (вывода) .

Нечеткая импликация является обобщением четкой импликации и имеет эквивалентные обозначения: .

В лингвистических определениях примером четкой импликации является силлогизм, который может быть представлен в виде трех формул.

Формула 1. Заданы четкие переменные: u₁ - электрическая печь; u₂ – нагрев помещения; u₃ – в помещении тепло. Построим следующую схему, приведенную в табл. 3.1.

Переменные	Формальный уровень	Лингвистический уровень
u1, u2	y1=u1®u2	«если электрическая печь, то нагрев в помещении»
u2, u3 –	y2=u2®u3	«если нагрев в помещении, то в помещении тепло»
Вывод	y3=u1®u3	«если электрическая печь, то в помещении тепло»

Из утверждений: y₁=u₁ ® u₂ и y₂=u₂ ® u₃ следует новое y₃=u₁ ® u₃.

Формула 2. Из утверждения y₁=u₁ ® u₂ («если электрическая печь, то нагрев в помещении») делается вывод y₂: «если это устройство печь, то оно греет». Формула 2 известна под названием: правило modus ponens.

Формула 3. Из утверждения y₁: «если электрическая печь, то нагрев в помещении» делается вывод : «если это устройство не греет, то оно не электрическая печь».

Подобные формулы существуют и для нечеткой импликации [12].

В нечеткой логике существуют следующие способы вычисления нечеткой импликации.

Нечеткая импликация S–типа является аналогом четкой импликации. Для нечетких формул и нечеткая импликация определяется (Клине, 1938): . Степень принадлежности нечеткой импликации для данного случая определится по формуле .

Нечеткая импликация QL–типа (QL – Quantum Logic) для нечетких формул и определяется (по Рейшенбаху): . Степень принадлежности нечеткой импликации для данного случая определится по формуле:

.

Модификацией QL -типа является импликация «расширение импликации исчисления высказываний по Ли»: . Степень принадлежности нечеткой импликации для данного случая определится по формуле: .

Нечеткая импликация R–типа (R - аббревиатура «residuated» - «разность, остаток») отражает частичный порядок в предложениях:

.

Нечеткая импликация T–типа основана на T –норме: . Примером импликации Т -типа является импликация по Мамдани (1974): , степень принадлежности которой определится по формуле: .

Нечеткая импликация, отражающая частичный порядок и основанная на классическомпересечении множеств:

.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: