 |
Композиция нечетких отношений
|
|
|
|
В теории нечетких множеств рассматривают композицию нечетких отношений (см. разд. 2.7.8), которая для двухмерного нечеткого отношения определена в виде 
, где 
- заданное двухмерное нечеткое отношение на множестве A1´A2 с функцией принадлежности mR(x1,x2); 
- заданное одномерное нечеткое отношение на множестве A1 с функцией принадлежности mR(x1); 
- заданное одномерное нечеткое отношение на множестве A2 с функцией принадлежности mR(x2).
Для определения композиции нечетких отношений используют операции проектирования (proj) и цилиндрического расширения (cext).
Операция проектирования нечеткого отношения с , причем ÌА=A1´A2,
на одномерное нечеткое множество 
определяется в виде
.
Пример выполнения операции proj показан на рис. 3.6.
Рис. 3.6
Операция цилиндрического расширения по Заде определяется в виде
=cext(А; A1´A2) 
.
Пример выполнения операции cext показан на рис. 3.7.
Операция композиции нечетких отношений, определенная в виде , с учетом операций проектирования и цилиндрического расширения определяется в виде: 
, где операция Ç задается в виде Т –нормы.
Приведем наиболее часто употребляемые определения операции композиции нечетких отношений.
Рис. 3.7
Если в качестве Т- нормы в операции композиции применяется логическое произведение по Заде (3.6), то нечеткая композиция называется максиминной композицией двух отношений и . Функция принадлежности mВ(x2) нечеткого множества будет равна
. (3.32)
Если рассматривать два нечетких отношений 
и 
, заданных на U×U, то максиминная композиция этих нечетких отношений будет иметь функцию принадлежности вида
.
Минимаксная композиция двух нечетких отношений и , заданных на U×U, будет иметь функцию принадлежности вида
|
|
|
.
Макси-мультипликативная композиция двух нечетких отношений и , заданных на U×U, будет иметь функцию принадлежности вида
.
Рассмотрим пример, в котором для композиции нечетких отношений функция принадлежности определяется согласно уравнению (3.32).
Пусть задана нечеткая переменная «»5» с одномерной функцией принадлежности 
и нечеткая переменная в виде нечеткого отношения «»» с двухмерной функцией принадлежности пирамидального вида 
. Найдем нечеткую переменную «приблизительно 5 приблизительно равное х2», где х2 – заданное число. Согласно уравнению (3.32) получим:
.
На рис. 3.8 приведена иллюстрация вычисления степени принадлежности mВ(x2).
Рис. 3.8
а – композиция нечеткого отношения ; б - цилиндрическое расширение m»5(x2); в - пересечение нечеткого отношения и цилиндрического расширения; г - проекция нечеткого множества .
В рассмотренном примере элементы x1 и x2 заданы на непрерывных областях. Возможен случай задания элементов x1 и x2 на дискретных областях с x1, x2Î{0,1,2,3,…}. Рассмотрим, как применяется композиционное правило для получения нечеткого вывода на отрезке [0,1]. Получим следующие преобразования:
.
Иллюстрация данных преобразования показана на рис. 3.9.
Рис. 3.9
В виде примера рассмотрим, каким образом можно получить вывод о принятии решения в задаче управления уровнем воды в бассейне. На рис. 3.10 приведена иллюстрация к решению задачи. Вода поступает через вентиль, а уровень воды в бассейне контролируется датчиком. Нечеткая система управления подает на вентиль сигналы управления, определяющие количество поступающей в бассейн воды. Определим лингвистические правила для управления уровнем воды в бассейне.
Рис. 3.10
Правило R1: если уровень воды в бассейне низкий (нечеткое множество 
), то вентиль открыт (нечеткое множество );
Правило R2: если уровень воды в бассейне не очень высокий (нечеткое множество ), то вентиль слегка открыт (нечеткое множество );
|
|
|
Нечеткий локальный вывод для получения нечеткого множества определяется нечеткой композицией и нечеткой импликацией так, что:
.
При определении импликации Т -типа по Мамдани получим для 
: 
.
Для нечеткого множества 
, при определении копмозиции по Заде, получим:
.
Процесс определения mВ(х) иллюстрирован на рис. 3.11.
|
|
|
