Определение нечеткого множества

 

Решая задачи, приходится встречаться с ситуациями, когда элемент в некоторой степени принадлежит данному множеству. Например, определяется множество небольших величин. Кто может точно сказать, начиная с какого значения величины можно считать величину небольшой? На этот вопрос нет однозначного ответа. Поэтому одним из способов математического описания нечеткого множества является определение степени принадлежности элемента нечеткому множеству. Степень принадлежности задается числом из интервала [0,1]. Границы интервала - 0, 1, означают, соответственно, «не принадлежит» и «принадлежит». В разд. 1 принадлежность элемента x множеству А записывается в формализованном виде xÎА. Данная запись может быть представлена в виде характеристической функции:

.

Принадлежность множеству может быть представлена в графической виде. Например, в одномерном арифметическом пространстве R заданы два множества AÎ R и BÎ R. Принадлежность xÎА можно представить в виде прямоугольника П_А, показанного на рис. 2.1, а принадлежность xÎВ - в виде прямоугольника П_В, показанного на рис. 2.2. Принадлежность x объединению множеств xÎАÇВ представлена прямоугольником П_АÇВ, показанны на рис. 2.3. Принадлежность двухмерному множеству будет представлена параллепипедом в трехмерном пространстве, а принадлежность n –мерному множеству – (n +1)-мерным параллепипедом.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Нечетким подмножеством A множества X называется множество двоек [2 - 4]. Функция m_A, являющаяся отражением элементов xÎX в элементы множества [0,1] (m_a:X®[0,1]), называется функцией принадлежности нечеткого множества , а X - базовым множеством.

Рис. 2.3

Конкретное значение m_A(x), заданное для элемента x, называется степенью принадлежности элемента x нечеткому множеству . Hосителем нечеткого множества называется подмножество ÎX, содержащее те элементы xÎX, для которых значение функции принадлежности больше нуля.

Пример. Пусть X - множество натуральных чисел X={1,2,3,...,x_max}, предназначенных для определения цены изделия. Нечеткое подмножество «небольшая цена» может быть задано в следующем виде:

={<1/1>,<0,9/2>,<0,8/3>,<0,7/4>,<0,6/5>,<0,5/6>,<0,4/7>,<0,3/8>,

<0,2/9>,<0,1/10>,<0/11>,...,<0/x_max>}.

Принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» показана на рис.2.4.

Рис. 2.4

Если рассматривать множество X как непрерывное множество натуральных чисел, то принадлежность значений цены нечеткому подмножеству «небольшая цена» будет иметь вид непрерывной функции, как показано на рис.2.5. Рассмотрим свойства нечетких множеств.

Высота (height - hgt) нечеткого множества : .

Рис. 2.5

Нечеткое множество с hgtA=1 называется нормальным, а при hgtA<1 - субнормальным. Ядро (core, kernal, nucleus) или центр нечеткого множества : core ={xÎX/m_A(x)=1}. Основание (support – supp) нечеткого множества : supp ={xÎX/m_A(x)>1}. Поперечными точками (crossover point) нечеткого множества называется совокупность core {xÎX/m_A(x)=0,5}. Уровень a, или a –разрез (сечение) нечеткого множества : _a = {xÎX/m_A(x)³a}. a –разрез нечеткого множества еще обозначают: a - cut . Строгий a –разрез нечеткого множества : _a = {xÎX/m_A(x)>a}. Выпуклое (convex) нечеткое множество : "x₁,x₂,x₃ÎX:x₁£x₂£x₃®m_A(x₂)³min(m_A(x₁),m_A(x₃)). При невыполнении неравенства нечеткое множество называется невыпуклым. На рис. 2.6 приведена иллюстрация вышеназванных свойств.

Рис. 2.6

Отдельным видом нечеткого множества А является нечеткое число (нечеткий синглтон) при выполнении условий [6]: А является выпуклым, высота является нормальной (hgt А=1), m_А(x) является кусочно-непрерывной функцией, ядро или центр множества A (core A) содержит одну точку. Пример принадлежности x нечеткому числу «приблизительно 5» показан на рис. 2.7.

Другим видом нечеткого множества является задание некоторых переменных в виде нечеткого интервала. Известно [10] определение.

Рис. 2.7

Нечеткий интервал – это выпуклая нечеткая величина A, функция принадлежности которой квазивогнута, так что

"u,v, "wÎ[u,v], m_A(w)³min(m_A(u), m_A(v)), u,v,wÎX.

Тогда нечеткое число - полунепрерывный сверху нечеткий интервал с компактным носителем и единственным модальным значением. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала – это очень удобная форма для формализации неточных величин. Обычный интервал часто является неудовлетворительным представлением, т.к. необходимо фиксировать его границы. Могут быть оценки завышенными или заниженными, что вызовет сомнение в результатах расчетов. Задание параметров задачи в виде нечеткого интервала будет одновременно и завышенным, и заниженным, а носитель (базовое множество) нечеткого интервала будут выбран так, что ядро содержит наиболее правдоподобные значения и будет гарантировано нахождение рассматриваемого параметра в требуемых пределах.

Задание нечетких интервалов может быть осуществлено экспертами следующим образом. Нечеткий интервал задают четверкой параметров М= () (см. рис.2.8), где и - соответственно нижнее и верхнее модальные значения нечеткого интервала, а a и b представляют собой левый и правый коэффициент нечеткости. Задание нечеткого интервала может быть выполнено следующими способами.

Рис. 2.8

Вариант 1. Нижнее и верхнее модальные значения интервала совпадают, а a и b равны нулю. Значение x определяется с неопределенностью равной нулю. Для задания нечеткой входной переменной на множестве X определим формально нечеткий интервал =(x_min=x, x_max=x,0,0), где x_imin - нижнее модальное значение , а x_max- верхнее модальное значение .

Четкое задание x на множестве значений X, как это показано на рис. 2.9, является частным случаем задания нечеткого интервала, причем, m_A(x) - значение степени принадлежности интервалу.

Вариант 2. Задание x определяется с неопределенностью отличной от нуля. Пример показан на рис. 2.10. Нечеткий интервал определен, как =(x_min, x_max=x_min,0,b), т.е. верхнее и нижнее модальные значения интервала совпадают.

 

Рис. 2.9 Рис. 2.10

Вариант 3. Задание x может быть получено из интервала [А,В]. Пример показан на рис. 2.11. Степень принадлежности равна единице, причем =(А=x_min,В=x_max,0,0), где А – нижнее модальное значение (минимально возможное значение входной переменной x), В – верхнее модальное значение (максимальное значение входной переменной x.

Вариант 4. Значение входной переменной x_i может быть получено из интервала значений [А,С] таким образом, что в интервале [А,В] неопределенность получения равна единице (A£B£С). Формально нечеткий интервал определен в виде = (А=x_min,В=x_max,0,b). Пример задания показан на рис. 2.12, где b=С-В.

Вариант 5. Значение входной переменной q_i экспертами может быть определено из интервала значений [А,D] таким образом, что в интервале [В,C] неопределенность получения равна единице (A£B£С£D). Формально нечеткий интервал в этом случае определим в виде = (B=x_min,C=x_max,a,b). Пример задания нечеткого интервала показан на рис. 2.13, где a=B-A, b=D-C.

Рассмотрим операции над нечеткими интервалами.

Рис. 2.11 Рис. 2.12

 

Рис. 2.13

 

Операция нечеткого суммирования для нечетких интервалов определяется следующим образом. Сумма двух нечетких интервалов М_i=() и М_j=(), записываемая в виде М_i М_j, также есть нечеткий интервал М_i М_j= [11], где a=a_i + a_j; b=b_i + b_j; , . Сумма n нечетких интервалов определится формулами:

.

Если , a , где и - выпуклые интервалы, то , причем - совокупность интервалов, которая определена по предыдущим формулам.

Операция разности нечетких интервалов определяется следующим образом. Нечеткая разность двух нечетких интервалов и есть трапециевидный интервал , для которого c=|a-h|, d=|b-l|, , , где - соответственно нижние модальные значения нечетких интервалов , - верхние модальные значения нечетких интервалов .

Принятие решений связано с осуществлением сравнений полученного нечеткого интервала либо экспертами, либо по данным моделирования с действительным числом. Операция сравнения нечеткого интервала и действительного числа выполняется следующим образом.

Действительное число А представим в виде интервала (А,А,0,0). Определение меньшего или большего значения нечеткого интервала по отношению к действительному числу А производится по формулам:

А, если |A-()|£|A-()| и A£ ;

А, если |A-()|³|A-()| и A³ .

Для нечетких интервалов существует операция произведения и деления. Произведение двух нечетких интервалов и определится в виде трапециевидного интервала , параметры которого определяют по формулам:

c=ah, d=bl, ; .

Эти правила для умножения двух нечетких интервалов в зависимости от знаков чисел , , , принимают вид:

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то .

Рассмотрим операцию деления. Деление двух нечетких интервалов и даст трапециевидный интервал , параметры которого определяются следующим образом:

c=ah, d=bl, ; ,

причем в зависимости от знаков чисел , , , данное правило для деления двух нечетких интервалов будет выглядеть так:

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то ;

- если , то .

 

Функции принадлежности

 

Функции принадлежности является субъективным понятием, т.к. они определяются людьми (экспертами) и каждый человек дает свою оценку. Существуют различные методы задания функций принадлежности [4-5].

Будем считать, что функция принадлежности - это некоторое невероятное субъективное измерение нечеткости и что она отличается от вероятностной меры, т.е. степень принадлежности m_A(x) элемента x нечеткому множеству есть субъективная мера того, насколько элемент xÎX соответствует понятию, смысл которого формализуется нечетким множеством [4].

Степень соответствия элемента x понятию, формализуемому нечетким множеством , определяется опросом экспертов и представляет собой субъективную меру.

Существует два класса методов построения функций принадлежности множества : прямые и косвенные.

2.2.1. Прямые методы построения. Прямыми методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых степени принадлежности элементов x множества X непосредственно задаются либо одним экспертом, либо коллективом экспертов. Прямые методы подразделяются на прямые методы для одного эксперта и для группы экспертов в зависимости от количества экспертов.

Прямой метод для одного эксперта состоит в том что эксперт каждому элементу xÎX ставит в соответствие определенную степень принадлежности m_A(x), которая, по его мнению, наилучшим образом согласуется со смысловой интерпретацией множества .

Применение простых методов для группы экспертов позволяет интегрированно учитывать мнение всех экспертов и строить график соответствия между элементами из множества X. Возможна следующая процедура построения функции принадлежности m_A(x).

Экспертам, составляющим группу из m человек, задается вопрос о принадлежности элемента xÎX нечеткому множеству . Пусть часть экспертов, состоящая из n₁ человек, ответила на вопрос положительно, а другая часть экспертов n₂=m-n₁ ответила отрицательно. Тогда принимается решение, что m_A(x)=n₁/m.

В более общем случае оценкам экспертов сопоставляются весовые коэффициенты a_iÎ[0,1]. Коэффициенты a_i отражают степень компетентности экспертов. Степень принадлежности элемента x нечеткому множеству определится

где p_i=1 при положительном ответе и p_i=0 при отрицательном ответе эксперта.

Недостатки прямых методов состоят в присущем им субъективизме т.к. человеку присуще ошибаться.

2.2.2. Косвенные методы построения функций принадлежности. Косвенными методами построения функций принадлежности называют такие методы, в которых достигается снижение субъективного влияния за счет разбиения общей задачи определения степени принадлежности m_A(x), xÎX на ряд более простых подзадач. Одним из косвенных методов является метод попарных сравнений. Рассмотрим его суть.

На основе ответов экспертов строится матрица попарных сравнений M=½½m_ij½½, в которой элементы m_ij представляют собой оценки интенсивности принадлежности элементов x_iÎX подмножеству по сравнению с элементами x_jÎX. Функция принадлежности m_a(x) определяется из матрицы M. Предположим, что известны значения функции принадлежности m_A(x) для всех значений xÎХ. Пусть m_A(x)=r_i, Тогда попарные сравнения определяются m_ij=r_i/r_j. Если отношения точны, то получается соотношение в матричном виде MR=n*R, где R=(r₁,r₂,...,r_n), n - собственное значение матрицы M, по которому восстанавливается вектор R с учетом условия Эмпирический вектор R имеет решение в задаче на поиск собственного значения M*R=l_max, где l_max - наиболее собственное значение. Задача сводится к поиску вектора R, который удовлетворяет уравнению

M*R=l_max*R. (2.1)

Это уравнение имеет единственное решение. Значения координат собственного вектора, соответствующие максимальному собственному значению l_max, деленные на их сумму, будут искомыми степенями принадлежности. Понятия, которые предложены экспертам, а также соответствие этих понятий величинам m_ij, приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Интенсивность важности	Качественная оценка	Объяснения
	Несравнимость	Нет смысла сравнивать элементы
	Одинаковая значимость	Элементы равны по значению
	Слабо значимее	Существуют показания о предпочтении одного элемента другому, но показания неубедительны.
	Существенно или сильнее значимее	Существует хорошее доказательство и логические критерии, которые могут показать, что один из элементов более важен
	Очевидно значимее	Существует убедительное доказательство большей значимости одного элемента по сравнению с другим
	Абсолютно значимее	Максимально подтверждается ощутимость предпочтения одного элемента другим
2,4,6,8	Промежуточные оценки между соседними оценками	Необходим компромисс
Обратные величины ненулевых значений	Если оценка mij имеет ненулевое значение, приписанное на основании сравнения элемента ri с элементом rj, то mij имеет обратное значение 1/mij.

 

Производится опрос экспертов относительно того, насколько, по их мнению, величина m_A(x_i) превышает величину m_A(x_i), т.е. насколько элемент x_i более значим для понятия, описываемого нечетким множеством , чем элемент x_j. Опрос позволит построить матрицу попарных сравнений, которая имеет вид

Определение элемента r_iÎR происходит следующим образом. Вычисляется сумма каждого j -го столбца матрицы M. Из построения матрицы M следует, что Отсюда следует, что r_i=1/k_i.

Определив все величины k_j, получим значения элементов вектора R. Исходя из того, что матрица M, как правило, построена неточно, найденный вектор R используется как начальный в итерационном методе решения уравнения (2.1).

2.2.3. Виды функций принадлежности. Выше было определено, что функции принадлежности могут иметь трапецеидальный вид (см. рис. 2.7), треугольный вид (см. рис. 2.7). Функции принадлежности могут иметь также и колоколообразный вид (рис. 2.14).

Рис. 2.14

 

Для колоколообразного вида функция принадлежности определена выражением

,

где m - заданное число, d - показатель нечеткости.

Для трапецеидального вида функция принадлежности определена выражением: m_A(x)=min{max(a-k|x-b|;0);1}, где a, b - заданные числа, k - показатель нечеткости.

При решении задач нечеткого управления могут быть применены и другие функции:

m_A(x)=e^-kx, x>0; m_A(x)=1-a^x, 0£x£a ^-1/k; m_A(x)=(1+kx²)^-1, k>1.

Нечеткое множесто с одномерной функцией принадлежности m_A(x) принято называть нечетким множеством первого рода.

Существуют нечеткие множества второго рода, для который функция принадлежности: .

Двухмерное нечеткое множество A определено в следующем виде: A=(A₁´A₂: m_A(x₁,x₂)), где A₁´A₂ - декартово произведение, m_A(x₁,x₂)=min{a-k₁|x₁-b| - k₂|x₂-c|; (x₁=0, x₂=0)); - двухмерная функция принадлежности трапецеидального вида, в которой: a, b, c - заданные числа, k₁, k₂ - показатели нечеткости. Пример задания двухмерной функции принадлежности трапецеидального вида приведен на рис. 2.15.

Рис. 2.15

Двухмерная функция принадлежности колоколообразного вида определена формулой:

,

где m₁, m₂ - заданные числа, d₁, d₂ - показатели нечеткости.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: