Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Примеры решения типовых задач




Пример 1.

Имеются следующие данные о цене на нефть х (усл.ед) и индексе акций нефтяных компаний у (усл.ед).

Таблица 3

хi 17,3 17,0 18,3 18,8 19,2 18,5
yi            

Предполагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу y=ɑх + b методом наименьших квадратов.

Решение.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 4

n xi yi xi2 xiyi
  17,3   299,29 9290,1
  17,0   289,00 9078,0
  18,3   334,89 10065,0
  18,8   353,44 10434,0
  19,2   368,64 10752,0
  18,5   342,25 10212,0
109,1   1987,51 59831,1

Составим систему уравнений:


1987,51ɑ + 109,1 b = 59 831,1

109,1 ɑ + 6 b = 3288

 

Откуда ɑ=11,946, b=330,78, т.е

y = 11,94 x + 330,78.

Пример 2.

Найти квадратичную зависимость для следующих данных. Предприятие, производящее сельскохозяйственную технику, провело опрос дилеров и получила следующие сведения о спросе Q на свою продукцию в зависимости от цены P:

Таблица 5

P = х, млн. руб 1,7 1,9 2,0 2,1
Q = y, тыс. штук        

 

Решение.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 6

п xi yi xi2 xi3 xi4 xi yi xi2 yi
  1,7   2,89 4,913 8,3521 45,9 78,03
  1,9   3,61 6,859 13,0321 47,5 90,25
  2,0   4,00 8,000 16,0000 38,0 76,00
  2,1   4,41 9,261 19,4481 18,9 39,69
7,7   14,91 29,033 56,8323 150,3 283,97

Система линейных уравнений для определения величин ɑ, b, спримет вид

56,8323ɑ + 29,0330 b + 14,9100с = 283,97,

29,0330 ɑ + 14,9100 b + 7,7000с = 150,30,

14,9100 ɑ + 7,7000 b + 4 с = 80,00.

 

 

Решив систему, получим значения ɑ, b, с. Функция спроса будет иметь вид Q = 0,02 Р2 - 16.64 Р - 6,67.

Пример 3.

Имеются следующие данные о величине пробега автомобиля х (тыс.км) и у – расходе масла (л/тыс.км):

 

Таблица 7

хi          
yi 0,2 0,5 0,8 1,1 1,3

Полагая, что между переменными х и у существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу у=ɑх + b методом наименьших квадратов.

Решение.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 8

n xi yi xi2 xiyi
    0,2    
    0,5    
    0,8    
    1,1    
    1,3    
  3,9    

Система нормальных уравнений имеет вид:

 


44500ɑ + 450b = 407

450ɑ + 5b = 3,9

 

Ее решения ɑ=0,014, b = -0,48. Таким образом, линейная зависимость имеет вид: y= 0,014x – 0,48

 

Пример 4.

Имеются следующие данные о расходах на рекламу x (тыс. усл.ед.) и сбыте продукции (тыс. ед.):

Таблица 9

хi          
yi 1,6 4,0 7,4 12,0 18,0

 

Предполагая, что между переменными x и y существует квадратичная зависимость вида y = ɑx2 + bx + c, найти значения параметров ɑ, b, c методом наименьших квадратов.

Перепишем таблицу в виде столбцов и проведем необходимые вычисления.

Таблица 10

n xi yi xi2 xi3 xi4 xiyi xi2 yi
    1,6 4,0 7,4 12,0 18,0       1,6 8,0 22,2 48,0 90,0 1,6 16,0 66,6 196,0 450,0
  43,0       169,8 680,2

Система нормальных уравнений имеет вид:

979ɑ + 225b + 55с = 680,2,

225 ɑ + 55b + 15 с = 169,8,

55 ɑ + 15 b + 5 с = 49,0.

Её решения ɑ=0,3, b=0,48, c=5,06.

Искомая зависимость имеет вид: y= 0,3x2 + 0,48x +5,06.

 

Пример 5.

Имеется шесть измерений пары переменных (х,у) результаты которых приведены в таблице 11:

Таблица 11

xi        
yi 0,2 0,3 1,0 1,2

 

Методом наименьших квадратов построить линейную зависимость у=ɑх + b. Сравнить полученную зависимость с зависимостью у= .

Решение.

Аналогично примерам 1,3 найдем уравнение линейной регрессии:

у= 0,37х – 0,25.

Сравним величины U = для найденной линейной зависимости и зависимости у= . Промежуточные вычисления представим в таблице:

Таблица 12

n xi yi 0,37хi– 0,25 ( - yi)2 (0,37xi – 0,25 – уi)2
    0,2 0,3 1,0 1,2 0,125 0,5 1,125 0,12 0,49 0,76 1,23 0,005625 0,040000 0,015625 0,640000 0,0064 0,0361 0,0576 0,0009
- - - - 0,701250 0,1010

 

Как видно Uлин< Uкв, следовательно, линейная зависимость предпочтительнее.

Задания для работы в аудитории

I. Имеются следующие данные о величинах x и y. Предполагая, что между

x и y существует линейная зависимость, найти эмпирическую формулу

у=ɑх + b методом наименьших квадратов.

Задача 1.

х – цена на товар (усл.ед.); у – уровень продаж (тыс.ед.):

 

Таблица 13

xi 3,0 4,0 5,0 6,0 7,0
yi          

 

Задача 2.

х – уровень потребления электроэнергии на предприятии (млн.кВт . ч); у – себестоимость единицы продукции:

 

Таблица 14

xi          
yi          

 

 

II. По экспериментальным данным построить методом наименьших квадратов линейную зависимость у=ɑх + b. Сравнить полученную зависимость с альтернативной и определить, какая из них лучше соответствует экспериментальным данным.

 

Задача 3.

Таблица 15

xi   2,5   3,5  
yi 4,2 5,5 6,9   9,5

 

Альтернативная зависимость y=2x + 0,1x2.

 

Задача 4.

Таблица 16

xi          
yi 1,0 1,4 1,7 2,0 2,2

 

Альтернативная зависимость y=

 

Задача 5.

Таблица 17

xi 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0
yi 0,50 0,30 0,25 0,18 0,12

 

Альтернативная зависимость y=2

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...