Сложение матриц. Умножение матрицы на число. Сложение матриц на примере матриц 3×3 . Обратная матрица. Простейшие матричные уравнения и их решение.

Сложение матриц.

Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т. е. имеют одинаковые размеры. Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

Суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу

А+В=  + =

 

Сложение матриц на примере матриц 3× 3

+ =

- матрицы складываются поэлементно (складываем числа на одинаковых местах)

!!! Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковый размер (т. е. одинаковое число строк и столбцов)

Пример: Найти сумму матриц:

1. + = .
2. + - нельзя, т. к. размеры матриц различны.
3. + = .
4. + = .

Транспонирование.

 

Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером).

A=  B=

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают A^T.

Пример: Найти матрицу транспонированную данной.

а) A= ,

б) B= , .

Умножение матрицы на число.

Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу

k·А =  = k· =

Пример: = .

Умножение матриц.

Произведением матрицы A на матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

 · =

Пример: Найти произведение AB, если А=  и В = .

с₁₁= 3× 1 +1× 2 + 1× 1 = 6 с₂₁= 2× 1 + 1× 2 + 2× 1 = 6 с₃₁= 1× 1 + 2× 2 + 3× 1 = 8

с₁₂= 3× 1 + 1× (-1) + 1× 0 = 2 с₂₂=2× 1 + 1× (-1) + 2× 0 = 1 с₃₂=2× (-1) + 1× 1 + 2× 1 = 1

с₁₃= 3× (-1) + 1× 1 + 1× 1 = -1 с₂₃= 2× (-1) + 1× 1 + 2× 1 = 1 с₂₃= 1× (-1) + 2× 1 + 3× 1 =4

С=

!!! Матрицы не перестановочны друг с другом, т. е. A∙ B ≠ B∙ A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

Обратная матрица

Обратной А^–1 по отношению к матрице A называется такая матрица, для которой выполняется равенство A·A^-1 = A^-1·A = E. (Е – единичная матрица).

Для нахождения обратной матрицы используют следующую схему:

1) Находят определитель матрицы А

2) Находят алгебраические дополнения всех элементов матрицы А и записывают новую матрицу

3) Меняют местами столбцы полученной матрицы (транспонируют)

4) Умножают полученную матрицу на

Пример: Найти обратную матрицу для А=  и выполнить проверку.

1) Вычисляем D =  = 4  – 1  + 4  = 20 ≠ 0. следовательно, обратная матрица существует.

2) Найдем присоединенную матрицу A^*. Для этого вычислим все миноры второго порядка матрицы A и алгебраические дополнения:

А₁₁=(–1)¹⁺¹ = 7,                 А₂₁=(–1)²⁺¹ = – 1,   А₃₁=(–1)³⁺¹ = – 5,

А₁₂=(–1)¹⁺² = – 12,            А₂₂=(–1)²⁺² = 16,   А₃₂=(–1)³⁺² = 0,

А₁₃=(–1)¹⁺³ = 1,                 А₂₃=(–1)²⁺³ = –3,   А₃₃=(–1)³⁺³ = 5.

3) Составим новую матрицу A^*=  и транспонируем

A^Т=

4) Найдем по формуле обратную матрицу:

A^-1 =  =

ПроверкаA·A^-1 = ·  =  = Е.

Простейшие матричные уравнения и их решение.

 

Пусть дана система уравнений

Рассмотрим матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных:

А = .

Свободные члены и неизвестные запишем в виде матриц-столбцов

В = , X = .

Тогда матричным уравнением называется уравнение вида А·Х = В.

План решения матричных уравнений:

1) Найти обратную матрицу А^–1

2) Найти произведение обратной матрицы А^–1 на столбец свободных членов В,

т. е. А^–1·В

3) Пользуясь определением равных матриц, записать ответ.

 

Пример: Решить матричное уравнение .

Составим матричное уравнение А·Х = В: А = , X = , В =

1) Найдем обратную матрицу А^–1

Вычислим определитель

D= =3  – (–1) +0 = 3·(4+1)+1·(– 8–2) =5 ≠ 0

Запишем все алгебраические дополнения:

А₁₁=(–1)¹⁺¹ = 5, А₂₁=(–1)²⁺¹ = 4,   А₃₁=(–1)³⁺¹ = – 1,

А₁₂=(–1)¹⁺² = 10, А₂₂=(–1)²⁺² = 12,   А₃₂=(–1)³⁺² = – 3,

А₁₃=(–1)¹⁺³ = 0, А₂₃=(–1)²⁺³ = 1,   А₃₃=(–1)³⁺³ =5.

Запишем новую матрицу и транспонируем:

А^* = , А^Т=

Запишем обратную матрицу: A^-1 =  =

2) Х = ·  =  =

3) Итак, , т. е. х₁=2, х₂=1, х₃=3.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: