 |
Определение производной функции.
|
|
|
|
Определение производной функции.
Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение 
, при ∆ х стремящемся к нулю.
Основные правила дифференцирования
( f + g) ' = f ' + g '
(f − g) ' = f ' − g '
(f · g) ' = f' ·g + g'·f
Формулы дифференцирования
| Основные элементарные функции | Сложные функции |
1. C' = 0
2. (х)' = 1
3. (xn)'= nx n-1
4. (kx+b)' = k
5. (  )'= 
6. (  )' = 
7. (logа х)' = 
8. (  )' = 
9. (  )' = 
10. (  )'= 
11. (  )' =
12. (sin x)' = cos x
13. (cos x)'=-sin x
14. (tg x)' = 
15. (ctg x)' = 
16. (arcsin x)'= 
17. (arccos x)'= 
18. (arctg x)' = 
19. (arcctg x)' = 
| 1. (un)'= nи n-1· u′
2. (  )' =  · u′
3. (logа u)' = 
4. (  )' =  · u′
5. (  )' =  · u′
6. (  )' =  · u′
7. (sin u)' = cos u· u′
8. (cos u)'=-sin u· u′
9. (tg u)' =  · u′
10. (ctg u)' =  · u′
11. (arcsin u)'=  · u′
12. (arccos u)'=  · u′
13. (arctg u)' =  · u′
14. (arcctg u)' =  · u′
|
Пример: Найти значение производной функции у = sin (4x – 
) в точке х0 = 
Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции:
у′ = (sin (4x – ))′ = (4x – )′ ·cos(4x – ) = 4 cos(4x – )
у′ ( ) = 4 cos(4· – ) = 4 cos = 4· 
= 2 
. Ответ: 2
Пример: y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найти значение производной функции при y '(–1).
Найдем производную данной функции: y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y'(–1) = 14. Ответ: 14.
Пример: Найти производную данной функции y = ln x · cos x.
Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:
y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙ cos x – ln x · sin x.
Пример: Найти производную данной функции y = 
.
Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования:
y′ = 
= 
.
Определение дифференциала функции
С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Чтобы выяснить сущность этого понятия, рассмотрим функцию у =f(х), заданную в интервале (а, b) и имеющую в некоторой точке х этого интервала производную у' = f'΄ (x). Придадим х приращение Δ х, отличное от нуля, но не выводящее из интервала задания функции. Через Δ y обозначим соответствующее приращение функции. Так как отношение 
при стремлении Δ х к нулю стремится к производной у', а разность между переменной, имеющей предел, и этим пределом есть величина бесконечно малая, то величина - у' стремится к нулю вместе с Δ х. Предыдущее равенство можно записать в форме Δ y= у' Δ x+α Δ x, где α – стремится к нулю вместе с Δ х.
|
|
|
Обозначив α Δ х = β , мы видим, что при бесконечно малом Δ х переменная β также есть бесконечно малая величина и притом стремящаяся к нулю быстрее, чем Δ х, так как
= 0.
Таким образом, величина β есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ х. Это означает, что при весьма малых Δ х величина β во много раз меньше, чем Δ х. Доказательство этого факта имеется во многих руководствах по математическому анализу, но оно выходит за рамки нашей программы.
Таким образом, при малых Δ х величиной β = α Δ х часто пренебрегают и довольствуются приближенной формулой Δ y = f '(x) Δ x.
Определение. Дифференциалом или главной частью приращения функции у = f(х) в точке х, соответствующим приращению Δ х, называется произведение производной f '(х), вычисленной в точке х, на Δ х.
Дифференциал функции у =f(х) обозначается через dy или df(x). Таким образом, dу = у 'Δ х или df(x) =f '(х) Δ х.
Из определения дифференциала следует, что он является функцией двух независимых переменных – точки х и приращения Δ х.
Одним из основных свойств дифференциала, которое имеет широкое применение на практике – это то, что, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, можно приближенно заменять Δ у – приращение функции ее дифференциалом dy.
|
|
|
Тема 2. 3 Интегральное исчисление
Определение первообразной функции
Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F / (х) = f (х). (Для краткости при нахождении первообразных промежуток на котором задана функция, обычно не указывается).
Теорема: Если F(х) одна из первообразных для функции f (х) на заданном промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х) + С, где С – любое число.
Для нахождения общего вида первообразной можно воспользоваться таблицей:
| Функция f (х) | к (постоянная) | хп, п ≠ -1 | 
| sin x | cos x | 
| 
|
| Множество её первообразных F(х) | кх+С | 
| 
| - cos x+C | sin x+C | tg x+C | -ctg x+C |
Примеры:
1) Показать, что функция F(х) является первообразной функции f(х) на всей числовой прямой:
а) F(х)= 
, f(х)=х6; б) F(х)=4х3-х+1, f(х)= 12х2-1.
а) F’(х)= 
’= 
=х6=f(х). б) F’(х)= (4х3)’-х’+1’=12х2-1=f(х).
2) Найти одну из первообразных для функции f(х)= х12+3.
Используя таблицу первообразных получим F(х)= 
+3х+С= 
+3х+С.
3) Для функции f(х)=х+5 найти такую первообразную, график которой проходит через точку А(2; 5).
Все первообразные функции f(х)=х+5 находят по таблице F(х)= 
+5х+С. Найдем число С, такое, чтобы график функции проходил через точку А. Подставляя вместо х=2, F(х)=5, получаем 5= 
+5·2+С. Следовательно С= 5-14=-9. Значит F(х)= 
+5х-9.
|
|
|
