Определение производной функции.
Определение производной функции. Производной функции f(x) (f'(x0)) в точке x0 называется число, к которому стремится разностное отношение Основные правила дифференцирования ( f + g) ' = f ' + g ' (f − g) ' = f ' − g ' (f · g) ' = f' ·g + g'·f Формулы дифференцирования
Пример: Найти значение производной функции у = sin (4x – Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования сложной функции: у′ = (sin (4x – у′ ( Пример: y = x3 – 3x2 + 5x + 2. Найти значение производной функции при y '(–1). Найдем производную данной функции: y ' = 3x2 – 6x+ 5. Следовательно, y'(–1) = 14. Ответ: 14. Пример: Найти производную данной функции y = ln x · cos x. Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования: y ' = (ln x) ' cos x + ln x (cos x) ' =1/x∙ cos x – ln x · sin x. Пример: Найти производную данной функции y = Найдем производную данной функции по правилу дифференцирования: y′ = Определение дифференциала функции С понятием производной тесно связано понятие дифференциала. Чтобы выяснить сущность этого понятия, рассмотрим функцию у =f(х), заданную в интервале (а, b) и имеющую в некоторой точке х этого интервала производную у' = f'΄ (x). Придадим х приращение Δ х, отличное от нуля, но не выводящее из интервала задания функции. Через Δ y обозначим соответствующее приращение функции. Так как отношение
Обозначив α Δ х = β , мы видим, что при бесконечно малом Δ х переменная β также есть бесконечно малая величина и притом стремящаяся к нулю быстрее, чем Δ х, так как Таким образом, величина β есть бесконечно малая более высокого порядка, чем Δ х. Это означает, что при весьма малых Δ х величина β во много раз меньше, чем Δ х. Доказательство этого факта имеется во многих руководствах по математическому анализу, но оно выходит за рамки нашей программы. Таким образом, при малых Δ х величиной β = α Δ х часто пренебрегают и довольствуются приближенной формулой Δ y = f '(x) Δ x. Определение. Дифференциалом или главной частью приращения функции у = f(х) в точке х, соответствующим приращению Δ х, называется произведение производной f '(х), вычисленной в точке х, на Δ х. Дифференциал функции у =f(х) обозначается через dy или df(x). Таким образом, dу = у 'Δ х или df(x) =f '(х) Δ х. Из определения дифференциала следует, что он является функцией двух независимых переменных – точки х и приращения Δ х. Одним из основных свойств дифференциала, которое имеет широкое применение на практике – это то, что, пренебрегая бесконечно малыми более высокого порядка, можно приближенно заменять Δ у – приращение функции ее дифференциалом dy.
Тема 2. 3 Интегральное исчисление Определение первообразной функции Функция F(х) называется первообразной для функции f (х) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F / (х) = f (х). (Для краткости при нахождении первообразных промежуток на котором задана функция, обычно не указывается). Теорема: Если F(х) одна из первообразных для функции f (х) на заданном промежутке, то множество всех первообразных этой функции имеет вид: F(х) + С, где С – любое число. Для нахождения общего вида первообразной можно воспользоваться таблицей:
Примеры: 1) Показать, что функция F(х) является первообразной функции f(х) на всей числовой прямой: а) F(х)= а) F’(х)= 2) Найти одну из первообразных для функции f(х)= х12+3. Используя таблицу первообразных получим F(х)= 3) Для функции f(х)=х+5 найти такую первообразную, график которой проходит через точку А(2; 5). Все первообразные функции f(х)=х+5 находят по таблице F(х)=
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|