 |
Интегрирование рациональных дробей
|
|
|
|
Рациональные дроби вида
1) 
2) 
3) 
4) 
,
где 
и дискриминант многочлена 
отрицателен, называются простейшими рациональными дробями 1, 2, 3 и 4 типов.
Найдем интегралы от простейших рациональных дробей 1–3 типов.
1) 
(по таблице интегралов).
2) 
(замена 
, 
) = 
=
3) 
= (выделим в знаменателе полный квадрат)
= 
.
Заметим, что 
(дискриминант). Положим
и сделаем подстановку 
Интеграл примет вид:
=
= 
.
Возвращаясь к переменной 
, получаем ответ:
.
Известно, что произвольный многочлен 
может разлагаться на множители двух видов: 
, 
или 
, 
, причем квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант (не разлагается на множители). Строго эта теорема звучит так:
Теорема. Всякий многочлен степени 
с действительными коэффициентами разлагается на линейные и квадратные множители с действительными коэффициентами
= 
.
При этом 
.
Выражение 
называется правильной дробно-рациональной функцией, если 
– многочлены, причем степень знаменателя больше степени числителя.
Интегрирование дробно-рациональных функций основано на следующей теореме о разложении:
Теорема. Всякую правильную рациональную дробь , знаменатель которой разложен на множители
=
можно представить единственным образом в виде следующей суммы простейших дробей:
= 
+ 
...
...+ 
+...
...+ 
,
где 
– некоторые действительные коэффициенты.
Пример 1. Дробь 
представима в виде
.
Пример 2. Представим дробь 
в виде суммы простейших дробей.
Решение. Заметим, что выражение (
) разлагается на множители 
. Потому
= 
.
Отметим также, что числитель не влияет на вид разложения, а будет влиять только на значения коэффициентов 
Таким образом, можно свести вычисление дробно-рациональной функции к вычислению простейших дробей. Для этого необходимо вычислить неопределенные коэффициенты, возникающие при разложении. Они вычисляются методом неопределенных коэффициентов. Продемонстрируем его на следущем примере.
|
|
|
Пример. Пусть имеется разложение
= .
Найти все коэффициенты этого разложения.
Решение.
Приводим правую часть равенства к общему знаменателю:
= 
=
= 
Затем сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях в числителях левой и правой частей. Получаем систему:
Решая ее, получаем искомые коэффициенты:
Заметим, что неправильную дробно-рациональную функцию можно превратить в сумму многочлена и правильной дроби с помощью деления углом, т.е.
= 
,
где 
– многочлен, 
– правильная дробь.
Пример. Дана неправильная рациональная дробь
= 
.
Разделим числитель на знаменатель:
_ 
| 
_ 
_ 
_ 
Результат деления:
= + 
.
Сформулируем теперь общее правило интегрирования рациональных дробей.
1. Если дробь неправильна, то представить ее в виде суммы многочлена и правильной дроби.
2. Разложив знаменатель правильной рациональной дроби на множители, представить ее в виде суммы простейших рациональных дробей.
3. Проинтегрировать многочлен и полученную сумму простейших дробей.
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. Представим подынтегральное выражение в виде
суммы простейших дробей:
= 
.
Методом неопределенных коэффициентов находим неизвестные
:
= 
=
= 
Отсюда 
Тогда
= 
=
= 
+ C.
Пример 2. Вычислить 
.
Решение. Дробь неправильная, поэтому делим многочлены углом и выделяем многочлен и правильную дробь
Далее, разложим получившуюся правильную дробь на простейшие дроби
= 
Методом неопределенных коэффициентов находим коэффициенты:
Следовательно, 
Таким образом,
= 
= 
+
+ 
= 
.
Задачи для самостоятельного решения
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
|
|
|
