Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Двойной интеграл и его приложения

Пусть ограниченная функция определена в некоторой замкнутой области плоскости Разобьем область произвольным образом на меньших областей не имеющих общих внутренних точек, в каждой части возьмем произвольную точку , вычислим значение и составим сумму

(5.1)

где – площадь

Эта сумма называется интегральной суммой функции , соответствующей данному разбиению области на части и данному выбору промежуточных точек .

Обозначим . Если существует предел интегральной суммы (5.1) при не зависящий от способа дробления области на части и выбора точек в них, то он называется двойным интегралом от функции по области и обозначается

т. е.

а функция называется интегрируемой в области .

Если функция непрерывна в замкнутой области , то она интегрируема в этой области.

Двойные интегралы обладают такими же свойствами, как и определенные интегралы (линейность, аддитивность, формулы среднего значения и т. д.):

1. .

3. Если , а пересечение и не имеет общих точек, то

Геометрический смысл двойного интеграла: если в области то двойной интеграл

(5.2)

численно равен объему цилиндрического тела с основанием , которое ограничено сверху поверхностью (рис. 7).

Рис. 7. Цилиндрическое тело

В частности, когда двойной интеграл (5.2) равен площади области т. е.

(5.3)

Физический смысл двойного интеграла: если область – плоская пластинка, лежащая в плоскости с поверхностной плотностью распределения вещества, то массу пластинки находят по формуле

(5.4)

статические моменты пластинки относительно осей и находят по формулам:

(5.5)

координаты центра масс пластинки:

(5.6)

моменты инерции пластинки относительно осей координат и начала координат:

(5.7)

Область которая определяется неравенствами где и – однозначные непрерывные функции на отрезке называется стандартной относительно оси Аналогично определяется стандартная область относительно оси

Область стандартную как относительно оси так и относительно оси называют просто стандартной областью. На рис. 8 показана стандартная относительно оси область

В случае стандартной области всякая прямая, параллельная оси координат и проходящая через внутреннюю точку области пересекает границу области в двух точках (рис. 8).

Если – область интегрирования, стандартная относительно оси двойной интеграл вычисляется по формуле

(5.8)

Правую часть формулы (5.8) называют повторным интегралом, а интеграл

называют внутренним интегралом.

Вычисление повторного интеграла следует начинать с вычисления внутреннего, в котором переменную надо принять при интегрировании за постоянную величину. Результат интегрирования будет некоторой функцией от которая интегрируется затем по отрезку В результате получается некоторое число – значение интеграла (5.8).

Если область является стандартной относительно оси (рис. 9), двойной интеграл вычисляется по формуле

(5.9)

Рис. 8. Стандартная относительно Рис. 9. Стандартная относительно оси Oy область оси Ox область

Процесс расстановки пределов интегрирования для внутреннего и внешнего интегралов называется приведением двойного интеграла к повторному, а переход от формулы (5.8) к формуле (5.9) или наоборот – изменением порядка интегрирования.

Если область не является стандартной ни относительно оси , ни относительно оси , ее разбивают на конечное число областей стандартных относительно оси (или ), и при вычислении двойного интеграла по области используют свойство аддитивности.

Примеры.

Задача 1.Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле .

Решение. Область является стандартной относительно оси , но не является стандартной относительно оси , поэтому запишем ее в виде объединения двух областей, которые являются стандартными относительно оси : . Следовательно,