Интегралы от неограниченных функций
(интегралы 2-го рода) Пусть Пример 1. Вычислить интеграл Решение. Так как функция
Таким образом, заданный интеграл расходится. Пример 2. Вычислить интеграл Решение. Подынтегральная функция стремится к бесконечности при
Таким образом, заданный интеграл сходится и равен 2. Справедливы следующие признаки сходимости. Теорема. Пусть на Теорема. Пусть на Пример 3. Доказать, что Решение. Подынтегральная функция Задачи для самостоятельного решения 1. Вычислить несобственный интеграл 2. Установить расходимость несобственного интеграла
3. Вычислить несобственный интеграл 4. Установить расходимость несобственного интеграла
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Площадь плоской фигуры
Пусть плоская фигура ограничена линиями
Решение. Так как эллипс – симметричная фигура, то достаточно найти площадь ее четвертинки (рис. 2). Из уравнения эллипса выразим переменную
Площадь плоской фигуры, заданной параметрически Пусть плоская фигура задана параметрически Пример 2. Вычислить площадь эллипса: Решение. Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, заданной параметрически. Так как
4.1.3. Площадь плоской фигуры, заданной в полярных координатах Пусть фигура задана в полярных координатах Пример 3. Вычислить площадь фигуры: Решение. Фигура, которая задается формулой
Задачи для самостоятельного решения 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 3. Вычислить площадь фигуры, заданной параметрически: 4. Вычислить площадь фигуры, заданной параметрически: 5. Вычислить площадьфигуры, заданной в полярных координатах 6. Вычислить площадьфигуры, заданной в полярных координатах Длина дуги плоской кривой 4.3.1. Длина дуги плоской кривой, заданной в декартовых координатах
Пример 1. Вычислить длину окружности радиуса R. Решение. Окружность радиуса
Из равенства
4.3.2. Длина дуги плоской кривой, заданной параметрически Пусть кривая задана параметрически:
Пример 2. Вычислить длину окружности. Решение. Вычислим длину дуги окружности радиуса
4.3.3. Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах Пусть плоская кривая задана в полярных координатах:
Пример 3. Найти длину кардиоиды Решение. Так как
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|