 |
Интегралы от неограниченных функций
|
|
|
|
(интегралы 2-го рода)
Пусть 
непрерывна на 
и имеет бесконечный разрыв в точке b. Если существует конечный предел 
, то он называется несобственным интегралом второго рода и обозначается 
. Если предел существует и конечен, то несобственный интеграл сходится. В противном случае несобственный интеграл расходится.
Пример 1. Вычислить интеграл 
.
Решение. Так как функция стремится к бесконечности при 
, то
.
Таким образом, заданный интеграл расходится.
Пример 2. Вычислить интеграл 
.
Решение. Подынтегральная функция стремится к бесконечности при 
. Следовательно,
.
Таким образом, заданный интеграл сходится и равен 2.
Справедливы следующие признаки сходимости.
Теорема. Пусть на 
непрерывные функции 
и 
удовлетворяют условию 
и при 
терпят бесконечный разрыв, тогда, если сходится интеграл 
, то сходится и интеграл и, наоборот, если расходится интеграл 
, то расходится и интеграл 
.
Теорема. Пусть на непрерывные функции и удовлетворяют условию и при терпят бесконечный разрыв, тогда если 
положителен и конечен, то интегралы и сходятся и расходятся одновременно.
Пример 3. Доказать, что 
расходится.
Решение. Подынтегральная функция 
стремится к бесконечности при . Заметим, также, что 
. Рассмотрим интеграл 
. Итак, интеграл 
расходится. Следовательно, расходится и интеграл .
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить несобственный интеграл 
.
2. Установить расходимость несобственного интеграла
.
3. Вычислить несобственный интеграл 
.
4. Установить расходимость несобственного интеграла
.
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Площадь плоской фигуры
4.1.1. Площадь плоской фигуры, заданной в декартовых координатах
|
|
|
Пусть плоская фигура ограничена линиями , 
, 
, (рис. 1). Тогда ее площадь вычисляется по формуле
Пример 1. Вычислить площадь эллипса: 
Решение. Так как эллипс – симметричная фигура, то достаточно найти площадь ее четвертинки (рис. 2). Из уравнения эллипса выразим переменную 
: 
. Тогда площадь эллипса равна
Площадь плоской фигуры, заданной параметрически
Пусть плоская фигура задана параметрически 
, 
. Тогда ее площадь вычисляется по формуле
Пример 2. Вычислить площадь эллипса: 
, 
, 
.
Решение. Воспользуемся формулой для вычисления площади фигуры, заданной параметрически. Так как 
, то
.
4.1.3. Площадь плоской фигуры, заданной в полярных координатах Пусть фигура задана в полярных координатах 
, где угол 
принадлежит отрезку 
. Тогда ее площадь вычисляется по формуле 
.
Пример 3. Вычислить площадь фигуры: 
.
Решение. Фигура, которая задается формулой , представляет из себя трилистник (рис. 3).
Так как площадь каждого лепестка одинакова,
.
Задачи для самостоятельного решения
1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, 
, 
.
2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: 
, 
, 
, 
.
3. Вычислить площадь фигуры, заданной параметрически: 
, 
.
4. Вычислить площадь фигуры, заданной параметрически: 
, 
.
5. Вычислить площадьфигуры, заданной в полярных координатах 
.
6. Вычислить площадьфигуры, заданной в полярных координатах 
.
Длина дуги плоской кривой
4.3.1. Длина дуги плоской кривой, заданной в декартовых координатах 
Пусть функция и ее производная 
заданы и непрерывны на отрезке 
. Тогда длина дуги AB (рис. 4) вычисляется по формуле
Пример 1. Вычислить длину окружности радиуса R.
Решение. Окружность радиуса 
с центром в начале координат задается формулой 
. Так как окружность симметрична и относительно оси Ox и относительно оси Oy, то достаточно найти длину дуги окружности, расположенной в первой четверти.
|
|
|
Из равенства получаем 
, 
. Следовательно,
.
4.3.2. Длина дуги плоской кривой, заданной параметрически Пусть кривая задана параметрически: 
, 
, 
. Тогда ее длина вычисляется по формуле
.
Пример 2. Вычислить длину окружности.
Решение. Вычислим длину дуги окружности радиуса , расположенную в первой четверти и умножим полученный результат на 4. Так как 
, 
, 
– параметрическое уравнение окружности, а 
, 
, то ее длина равна
.
4.3.3. Длина дуги плоской кривой, заданной в полярных координатах Пусть плоская кривая задана в полярных координатах: , 
. Пусть также 
и 
– непрерывные функции на отрезке . Тогда длину кривой можно вычислить по формуле
.
Пример 3. Найти длину кардиоиды 
.
Решение. Так как 
, то
.
|
|
|
