 |
Интегрирование тригонометрических функций
|
|
|
|
1. Рассмотрим интегралы вида 
.
Если хотя бы одно из чисел 
– нечетное положительное, то делаем замену: функцию в четной степени обозначаем новой переменной. От функции в нечетной степени отделяем один множитель, оставшуюся четную степень выражаем через дополнительную функцию с помощью формул 
и 
.
Пример. Найти 
.
Решение.
= 
=
= 
= 
= 
= 
=
= 
.
Если оба числа – четные неотрицательные, то применяем формулы понижения степени
, 
, 
.
Пример. Найти 
.
Решение.
= 
= 
= 
=
= 
2. Интегралы вида 
и 
вычисляются соответственно с помощью подстановок: 
.
Пример. Найти 
.
Решение.
= 
= 
= 
= 
=
= 
= 
.
3. При вычислении интегралов
, 
, 
применяют формулы
,
,
.
Пример. Найти 
.
Решение.
= 
= 
=
= 
.
4. Пусть 
– рациональная функция своих аргументов 
, т.е. над 
и 
совершаются только арифметические операции. Например, = 
– рациональная функция, а = 
– не является рациональной.
Интегралы вида 
, где 
– рациональная функция аргументов 
приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента 
с помощью универсальной подстановки 
. При этом
, 
, 
.
Пример. Найти 
.
Решение. Делая подстановку
, , , ,
получим
= 
= 
=
= 
.
Задачи для самостоятельного решения
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Интегрирование дробно-линейных иррациональностей
Пусть – рациональная функция. Функцию вида 
называют дробно-линейной иррациональностью.
Замена 
рационализирует интеграл 
. Это следует из того, что 
(а, значит, и 
) – рациональная функция.
Пример 1. Вычислить 
.
Решение. Полагая 
, получим 
, 
, 
. Таким образом,
= 
= 
= 
=
= 
+ C.
Пример 2. Вычислить 
.
Решение. = 
= 
= 
=
= 
= 
+ C =
.
Задачи для самостоятельного решения
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Интегрирование квадратичных иррациональностей
|
|
|
Пусть – рациональная функция. Функцию 
будем называть квадратичной иррациональностью. Пусть нужно вычислить интеграл
.
Выделив под знаком корня полный квадрат 
= 
и сделав подстановку 
, получим интеграл одного из следующих типов:
1. 
.
2. 
3. 
В каждом из них можно избавиться от иррациональности с помощью следующих тригонометрических подстановок:
1. 
2. 
3. 
Пример 1.
= 
= 
= 
= 
= 
= 
.
Пример 2.
= 
=
= 
= 
= 
= 
.
Пример 3.
= 
=
= 
(см. предыдущий пример) =
= 
.
Задачи для самостоятельного решения
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определенный интеграл и его свойства
Пусть на отрезке [ a; b ], 
, задана функция 
. Разобьем данный отрезок на 
частичных отрезков 
, где 
. В каждом из отрезков возьмем произвольную точку 
и составим сумму
Данную сумму обозначим через 
и назовем интегральной суммой функции 
.
Если интегральная сумма имеет предел, который не зависит ни от разбиения отрезка [ a; b ], ни от выбора точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке [ a; b ], т.е.
,
где 
– наибольшая из длин отрезков , 
.
Функция , для которой существует определенный интеграл на отрезке [ a; b ], называется интегрируемой на этом отрезке.
Перечислим ряд свойств определенного интеграла.
1. Если 
интегрируема на [ a; b ] функция, то 
также интегрируемая на [ a; b ] функция и 
.
2. Если и 
интегрируемые на [ a; b ] функции, то их сумма, также интегрируемая на [ a; b ] функция и 
.
3. 
=0.
4. 
.
5. Пусть функция интегрируема в наибольшем из промежутков 
, 
, 
. Тогда она интегрируема в двух других промежутках и имеет место равенство 
.
6. Пусть функция интегрируема на [ a; b ], и неотрицательна на [ a; b ]. Тогда она интегрируема и имеет место равенство 
.
7. Пусть и интегрируемы на [ a; b ] и 
на . Тогда 
.
8. Пусть функция интегрируема на , 
. Тогда 
также интегрируема на и 
.
9. Пусть функция интегрируема на 
и для произвольного 
выполняется соотношение 
. Тогда 
.
|
|
|
10. Пусть функция непрерывна на , тогда найдется такая точка 
, что 
.
Вычисление интеграла
|
|
|
