 |
Задачи для самостоятельного решения
|
|
|
|
Задача 1.Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле 
Задача 2. Вычислить двойной интеграл 
по области 
, ограниченной кривыми 
и 
.
Задача 3. Найти объем тела 
ограниченного поверхностями 
Замена переменных в двойном интеграле
Пусть в двойном интеграле 
прямоугольные координаты 
преобразуются к новым координатам 
которые связаны с соотношениями:
(5.10)
Если между областями и 
, лежащими в плоскостях 
и 
(рис. 11), установлено соотношениями (5.10) взаимно однозначное отображение, причем функции (5.10) имеют непрерывные частные производные первого порядка в области и якобиан отображения в области не обращается в нуль, т.е.
то имеет место следующая формула замены переменных в двойном интеграле
(5.11)
Рис. 11. Отображение областей
В полярных координатах формулы (5.10) имеют вид 
Эти формулы связывают прямоугольные координаты с полярными координатами 
при условии, что полюс помещен в начало координат и полярная ось направлена вдоль оси 
В этом случае 
и формула (5.11) принимает вид
Для области 
ограниченной лучами, образующими с полярной осью углы 
и 
, и кривыми 
и 
причем 
(см. рис. 12), получаем
(5.12)
Если область содержит начало координат (см. рис. 13), то
(5.13)
| 
|
Рис. 12. Область D Рис. 13. Область D содержит
начало координат
Формулы (5.12) и (5.13) удобно использовать при решении задач, когда область есть круг или часть круга.
Обобщенными полярными координатами называют переменные 
и 
, связанные с прямоугольными координатами 
и 
формулами 
где 
В этом случае 
и формула (5.11) принимает вид
Примеры.
Задача 1. Найти объем тела 
, ограниченного поверхностями 
Решение. Данное тело можно представить в виде 
где – область на плоскости 
ограниченная окружностью 
, т.е. 
Поэтому 
. Перейдем в этом интеграле к полярным координатам:
|
|
|
В этих координатах область интегрирования записывается так: 
. Следовательно, используя формулу (5.13), получим
Задача 2. Найти моменты инерции относительно осей координат пластины с плотностью 
ограниченной кривыми 
и расположенной в I квадранте.
Решение. Данная пластина изображена на рис. 14.
Рис. 14. Область D
| По формулам (5.7) имеем  
Для вычисления этих интегралов удобнее перейти к полярным координатам:
|
Тогда изменяется от 
до 
(см. рис. 14), а при каждом значении из отрезка 
переменная изменяется от 
(значение на кривой 
уравнение которой в полярных координатах в I квадранте имеет вид 
) до 
(значение на кривой 
). Следовательно, используя формулу (5.12), получим
Аналогично получаем 
Задачи для самостоятельного решения
Задача 1. Вычислить интеграл 
по области 
в полярных координатах.
Задача 2. Найти площадь области , ограниченной кривыми 
.
КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО РОДА
Криволинейные интегралы первого рода
И их приложения
Пусть на плоскости расположена ограниченная кривая 
, гладкая или кусочно-гладкая, функция 
определена и ограничена на кривой . Разобьем кривую на 
частей 
не имеющих общих внутренних точек и на каждой из этих частичных дуг кривой возьмем произвольную точку 
и составим интегральную сумму
(6.1)
где 
– длина 
-той частичной дуги 
Пусть 
. Если существует предел интегральной суммы (6.1) при 
не зависящей от способа дробления кривой на части 
и от выбора промежуточных точек 
то этот предел называется криволинейным интегралом 1-го рода от функции 
по кривой и обозначается
т.е. 
(6.2)
Из определения криволинейного интеграла следует, что его величина не зависит от того, в каком направлении обходят кривую 
Кривая может быть замкнутой, в этом случае для обозначения криволинейного интеграла употребляют символ 
|
|
|
Если 
– длина кривой , то из формулы (6.2) при 
следует, что 
Если кривая – материальная, т.е. вдоль кривой распределена с плотностью 
некоторая масса 
то 
Если кривая задана параметрически: 
то
(6.3)
если кривая задана уравнением 
то
(6.4)
если кривая задана уравнением в полярных координатах 
то
(6.5)
Понятие криволинейного интеграла 1-го рода распространяется и на случай функции трех переменных 
заданной в точках пространственной кривой. Вычисление такого интеграла по кривой , заданной параметрически 
производится по формуле
(6.6)
Примеры.
Задача 1. Вычислить 
где часть эллипса 
лежащая в I квадранте.
Решение. Параметрическое задание эллипса имеет вид 
Поскольку рассматривается часть эллипса, лежащая в I квадранте, то 
Поэтому, так как 
то применяя формулу (6.3) получим
Задача 2. Вычислить 
где кривая, заданная уравнением 
Решение. Перейдем к полярным координатам: Уравнение кривой примет вид 
Для вычисления интеграла применим формулу (6.5). Так как 
то
Задача 3. Найти массу 
материальной кривой , заданной уравнением 
где 
, если ее плотность 
Решение. По формуле для массы 
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой (6.4). Так как
то 
|
|
|
