Уравнения, допускающие понижение порядка
Рассмотрим три наиболее распространенных вида дифференциальных уравнений
-го порядка, допускающих понижение порядка.
a) Уравнение вида
. (8.6)
Общее решение получается с помощью
-кратного интегрирования
,
где
т.е. общий интеграл уравнения (8.6) есть сумма какого-либо частного решения этого уравнения и многочлена
-й степени с произвольными постоянными коэффициентами.
Пример. Найти общее решение уравнения
и его частное решение, удовлетворяющее условиям
.
Решение. Интегрируя первый раз, получим
. Повторное интегрирование дает
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2063.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2065.gif)
Следовательно,
– общее решение. Подставив теперь в полученное общее решение и в выражение для первой производной значения
и соответственно
и
, получим систему двух уравнений с неизвестными
и
:
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2079.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2081.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2083.gif)
Подставив найденные
и
в общее решение, получим искомое частное решение
, удовлетворяющее заданным начальным условиям.
б) Уравнение вида
. (8.7)
Уравнение (8.7) не содержит функции
и ее нескольких последовательных производных
. С помощью замены
понизим порядок уравнения на
единиц:
. Предположим, что для полученного уравнения общее решение имеет вид
. Тогда искомая функция
получается с помощью
кратного интегрирования функции
.
Пример. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Данное уравнение не содержит
и
. Положим
, тогда
и уравнение будет иметь вид:
. Это линейное уравнение первого порядка (см. п. 7.6.). Его общее решение имеет вид
. Так как
, то для отыскания искомого общего решения надо проинтегрировать уравнение
. Таким образом,
,
тогда
.
Следовательно,
, где
– произвольные постоянные, является общим решением заданного уравнения.
в) Уравнения вида
. (8.8)
Уравнение (8.8) не содержит явно независимую переменную
. В этом случае примем
за независимую переменную и введем новую функцию
. Считая, что
есть функция от
и через посредство
зависит от
и, применяя правило дифференцирования сложных функций, получим для производных функции
по
выражения
,
,
аналогично вычисляются
.
Подставляя в уравнение (8.8) вместо
и т.д., увидим, что в новых переменных порядок уравнения будет
, т.е. на единицу ниже.
Если это преобразованное уравнение проинтегрировано и
– его решение, то нахождение общего интеграла данного уравнения сводится к интегрированию
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2155.gif)
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2157.gif)
.
Откуда получаем общее решение ОДУ (8.8)
.
Пример. Найти общий интеграл уравнения
.
Решение. Положим
и подставим в исходное уравнение, тогда получим
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2169.gif)
.
Сократим на
, при этом учтем теряемое решение
или
и получим
.
Это уравнение рассматриваемого вида, делая ту же замену
придем к уравнению
.
Сократив на
(при этом учитываем еще одно решение
, т.е.
и
), получим
![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2193.gif)
.
Проинтегрировав уравнение
, находим
, или
.
Окончательно получим
, где
.
Заметим, что в общее решение входят и потерянные ранее частные решения (кроме
).
Задачи для самостоятельного решения
Задача. Решить дифференциальные уравнения, используя методы понижения порядка:
а)
б)
в) ![](https://konspekta.net/megalektsiiru/baza7/1967648519587.files/image2213.gif)
Линейные однородные уравнения с постоянными
Коэффициентами
Общий вид линейного дифференциального уравнения порядка
с постоянными коэффициентами
, (8.9)
где
– действительные постоянные.
Уравнение
, (8.10)
полученное заменой производных
искомой функции степенями
, называется характеристическим уравнением для уравнения (8.9).
Каждому действительному корню
уравнения (8.10) кратности
соответствуют
линейно независимых решений уравнения (8.9)
, (8.11)
а каждой паре комплексных корней
кратности
соответствуют
пар линейно независимых решений:
(8.12)
Линейная комбинация всех таких решений дает общее решение уравнения (8.9).
Запишем общее решение для случая
. Рассмотрим уравнение
, (8.13)
где
– действительные числа.
Характеристическое уравнение для (8.13) имеет вид
. (8.14)
Если квадратное уравнение (8.14) имеет два различных действительных корня
и
, то согласно (8.11) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13)
и общее решение имеет вид
, (8.15)
где
– произвольные постоянные.
Если квадратное уравнение (8.14) имеет комплексные корни
, тогда согласно (8.12) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13)
и общее решение имеет вид
. (8.16)
Если квадратное уравнение (8.14) имеет два равных действительных корня
, то согласно (8.11) имеем два линейно независимых решения уравнения (8.13)
и общее решение уравнения имеет вид
. (8.17)
Пример 1. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет корни
. Им соответствуют линейно независимые решения
. Следовательно, общее решение имеет вид
.
Пример 2. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение имеет вид
, его корни
. Им соответствуют линейно независимые решения
. Следовательно, общее решение имеет вид
.
Пример 3. Найти общее решение уравнения
.
Решение. Характеристическое уравнение
имеет два равных действительных корня
. Им соответствуют линейно независимые решения
. Следовательно, общее решение имеет вид
.
Воспользуйтесь поиском по сайту: