 |
III. Расчет деталей на прочность.
|
|
|
|
Одним из основных этапов расчета детали на прочность является оценка наиболее нагружаемого (опасного) сечения. Анализируется эпюр распределения внутренних силовых факторов – сил, моментов. Для этого используется анализ зависимости внутренних усилий от длины детали. Вид эпюра зависит от вида нагружения.
Растяжение или сжатие.
Рассмотрим один из простейших видов нагружения – растяжение (или сжатие) (Рис. III.1, а). Решение задачи начинается с оценки и определения реакций связей с помощью уравнений равновесия. Далее отдельно рассматриваются грузовые участки (участки с одинаковым принципом нагружения), в которых определяются внутренние усилия по длине балки методом сечений.
а) б)
Рис. III.1
Для консольной балки в точке заделки реактивной силой является R, которая определяется из уравнения равновесия:
,
откуда:
.
Рассмотрим 2 грузовых участка - I и II (Рис. 7, б).
Участок I находится в равновесии, т.к. вся балка находится в равновесии, тогда:
,
,
откуда:
.
Продольное усилие N1 положительно, значит направление силы выбрано правильно и – данная сила является растягивающей, т.е. это случай растяжения.
Рассуждая аналогичным образом, получим для грузового участка II:
,
,
следовательно, усилие N2 на данном участке сжимающее.
При построении эпюра продольной силы N необходимо учитывать правило знаков, согласно которому на эпюре проекция N положительна, если вектор силы направлен от сечения, т.е. N растягивающая, если N сжимающая, то ее проекция на эпюре отрицательна.
Деформация ∆l балки рассчитывается по закону Гука. Эпюр ∆ l строится с учетом того, что в точке заделки деформация балки равна 0.
Данная эпюра позволяет сделать вывод, что наиболее опасное сечение располагается в точке приложения силы F2.
|
|
|
Кручение.
Кручение – деформация балки под действием момента, работающего в вертикальной поперечной плоскости (Рис. III.2). 
Рассмотрим пример кручения жестко заделанной консольной балки (Рис. III.3, а). Разбив балку поперечными сечениями на грузовые участки и отбросив более нагруженные части, с помощью метода сечений построим эпюр крутящих моментов.
На участке I (Рис. III.3, б) равновесие будет обеспечиваться при взаимодействии внешнего и внутреннего моментов:
,
Учитывая правило знаков, согласно которому внутренний крутящий момент положительный, если, глядя на сечение, внутренний крутящий момент поворачивает сечение против часовой стрелки, получим:
или:
.
Для участка II:
.
Пусть M1=1 кН·м, M2=3 кН·м, тогда:
,
Отсюда следует то, что направление Т 2 выбрано неправильно. 
Изгиб.
Изгиб является наиболее сложным видом нагружения. Изгиб – деформация балки под действием моментов в вертикальной продольной или горизонтальной плоскостях (Рис. III.4).
Рис. III. 4
Рассмотрим изгиб консольно заделанной балки (Рис. III.5).
Рис. III.5
Изгибающий момент создается под действием концентрированной силы F. На балку действуют шарнирные опоры А и В, в связи с чем возникают реакции связей – RАy и RВy (Рис. III.6). 
Расчет балки на прочность сводится к построению эпюров внутренних силовых факторов – поперечной силы Q и изгибающего внутреннего момента Мх. Решение задачи начинается с определения всех реакций связей. Очевидно, что:
.
Используя метод сечений, мысленно рассечем балку сечениями и, откинув более нагруженную часть грузового участка (l1 или l2), рассмотрим I и II участки.
Рис. III. 7
Рассмотрим участок I (Рис. III.7). Равновесие участка обеспечивается, если воздействию внешней реактивной силы RAy будет противостоять внутренняя сила Q1. Образованная пара сил создает момент, который должен быть скомпенсирован изгибающим моментом Mx1.
|
|
|
Тогда:
Условием неопрокидывания (неповорачивания) является нулевая сумма моментов внешних и внутренних сил относительно точки сечения:
,
тогда:
Если z =0, то Мх1 =0, если z = l 1, то Мх1 = RAy · l 1. Пусть l 1=1 м, тогда Мх1 = RAy · l 1=1·1=1 кН·м. Внутренний момент Мх1 не является постоянным на участке, в связи с увеличением z, и его проекция на эпюре – наклонная линия.
Аналогичные рассуждения проводятся для участка II (Рис. III.8) и для любых балок с любым видом нагружения.
Рис. III.8
Правила знаков.
Внутреннее поперечное усилие Q положительно, если справа от сечения вектор Q направлен вниз, а слева от сечения – вверх, в противном случае Q принимает отрицательное значение (Рис. III.9, а).
а) б)
Рис. III.9
Если внутренний изгибающий момент М изгибает балку вниз, то на эпюре его проекция положительна, если вверх – отрицательна (Рис. III.9, б).
Замечание. Данное правило определения знака М применимо только при построении эпюра, при составлении уравнений равновесия используется зависимость знака М от направления вращения момента.
Рассмотрим случай нагружения балки распределенной силой q (Рис. III.10).
Рис. III.10
Очевидно, что:
.
Рассмотрим участок слева от сечения (Рис. III.11).
Рис. III. 11
Условием вертикального равновесия является уравнение:
,
откуда:
если z =0, то Q =- RAy, из чего следует то, что направление вектора Q выбрано неправильно. При увеличении z величина Q изменяется, проекция Q является наклонной линией.
Условие неопрокидывания:
,
,
если z =0, то Мх =0.
Из рис. III.10 видно, что балка максимально изогнется в середине балки и, следовательно, опасное сечение – середина балки, тогда как в точках А и В деформации минимальны, тогда:
если z = 
, то Мх =max
если z = 
, то Мх =min.
Правила проверки коррекции построения эпюр.
1. В местах приложения концентрированных внешних силовых факторов на соответствующих эпюрах наблюдаются переходы, равные величине внешних факторов.
2. При наличии концентрированных внешних сил эпюр поперечного усилия Q – горизонталь, а изгибающего момента М – наклонная линия.
|
|
|
3. Если внешняя нагрузка распределена по длине балки, то проекция Q на эпюре – наклонная линия, изгибающего момента М – парабола, причем выпуклость параболы – против направления распределенного усилия.
4. Поскольку
и
,
то знак производной от Мх соответствует знаку поперечного усилия Q.
|
|
|
