Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Группы.Простейшие св-ва групп(с док-ми)





ОТНОШЕНИЕ ДЕЛИМОСТИ НА МН-ВЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ, СВ-ВА ОТНОШЕНИЯ ДЕЛИМОСТИ.

Опр. Пусть a,b ∈ Z, а⋮b (а делится на b) или b/a, если (∃с ∈ Z): a=b*c, где a-кратное b, b-делитель a.

Св-ва отношения делимости:

(1)a⋮±a; a⋮±1;(2)a⋮b, b⋮c => a⋮c;

(3) a⋮b, b⋮c => (при любых m,n ∈ Z): am+bn⋮c;

(4) a⋮b, с⋮d => ac⋮bd;(5)ac⋮bc, c≠0 => a⋮b

(6)0⋮a

a⋮0 => a=0

a⋮b, a≠0 => b≠0;

(7)a⋮b, a∈N => a>=b;(8) a⋮b, b⋮a ó a=b или a=-b

Док-во:

(1)a=a*1=(-a)*(-1)

(2)a=bu, u∈ Z, b=cv, v∈ Z => a=cvu, т.к. uv ∈ Z, то a⋮c.

(6)0=а*0

a⋮0 => a=0*u, u∈ Z => a=0

a⋮b => a=bu, u∈ Z => если b=0, то а=0 –W => b≠0;

(7) a⋮b, а ∈N => b≠0 =>

b<0 => b<0<a => a>b

или b>0 => a=bu, u∈ Z => u>0 => u≥1 => bu≥b => a≥b;

(8) (<=) следует из п.1

(=>) a=bu, u∈ Z, b=av, v∈ Z => a=avu

a=0 =>b=0 или

a≠0 => ua=1 => u=v=1 или v=u=-1 => a=b или a=-b.

Деление с остатком. Теорема о делении с остатком.

Теорема:(a,b∈Z, b≠0)(! q,r∈Z): a=bq+r, 0≤r<|b|. (q-неполное частное, r-остаток)

Док-во:()

(1)b>0=> (из аксиом)(q∈Z) bq≤a<b(q+1) => 0≤a-bq<b(q+1)-bq=b=|b|. (a-bq) обозначим r => a=bq+r.

(2)b<0=> -b>0=> (по пункту (1)) (q, r∈Z): a=(-b)q+r, 0≤r<|-b|=> a=b(-q)+r=bq′+r, 0≤r<|b|.(-q= q′)

(!)Пусть a=bq1+r1= bq2+r2, 0≤r1,r2<|b|=> b(q1-q2)=(r2-r1) => |b(q1-q2)=r2-r1| => |b||q1-q2|=|r2-r1|, 0≤|r2-r1|<|b| => 0≤|b||q1-q2|<|b| => 0≤|q1-q2|<1. Т.к. |q1-q2|∈Z => |q1-q2|=0 => q1-q2=0 => q1=q2 => r1=r2.

9*Простые числа.Основная теорема арифметики.Каноническое разложение на простые.Формула наибольшего общего делителя двух целых чисел.

 

Опр.Натуральное число,больше 1 н-ся простым,если оно не имеет других натуральных делителей,кроме 1 и себя самого.

 

1 не являестя ни простым,ни составным

 

Для (∀а∈Z)(∀ простое число р)

а делится на p => НОД (а,р)=р

а не делится на р=>НОД (а,р)=1

 

 

Теорема:(основная теорема арифметики)

Всякое целое число больше 1,разлагается в произведении простых чисел,при этом единственным с точностью до перестановки множителей образом.

Пример: 6=2*3=3*2 12=2*2*3=2*3*2=3*2*2

 

Опр n∈Z, а<1

где — простые числа, и — некоторые натуральные числа.



Такое представление числа называется его каноническим разложением на простые сомножители.

Формула

Н.О.Д.

 

 

Сравнение по модулю n. Свойства отношения сравнимости.

Опр. a,bϵz, nϵN. Говорят,что а≡b (mod n) (a сравнимо с n по mod n) или ф*b⁞n

Предлож. J nϵN

1)Отнош. срав-ти по модулю n есть отнош. эквивал-ти.

2) (∀a,b,c,dϵZ) a≡b (mod n), c≡d(mod n) ⇒a+c≡b+d(mod n), ac≡bd(mod n)

Док-во. (1) рефлексивность a≡a(mod n), т.к. а*а=0⁞n

симметричность а≡b(mod n)⇒a*b⁞n⇒ -(a-b)⁞n ⇒ b-a⁞n⇒ b≡a (mod n)

транзитивность a≡b (mod n), b≡с (mod n) ⇒ a-b⁞n; b-c⁞n⇒a-b+b-c⁞n↔a≡с (mod n)

(2) a≡b (mod n); c≡в (mod n)⇒a-b⁞n; c-d⁞n ⇒(a) a-b+c-d⁞n ⇒(a+c)-(b+d)⁞n⇒a+c≡b+в (mod n)

(б) (a-b)*c⁞n; (c-d)*b⁞n ⇒ac-bc⁞n; bc-bd⁞n ⇒ ac-bc+bc-bd⁞n⇒ac-bd⁞n⇒ac≡bd (mod n)

Предлож. J a,bϵZ, nϵN

a≡b (mod n) ↔ a и b имеют один. остаток при деление на n.

Док-во. ← ⇒ a*b=n(a1-a2)⁞n

→ r1-r2⁞n ⇒ǀr1-r2ǀ⁞n

Но 0≤ǀr1-r2ǀ<n ⇒ǀr1-r2ǀ=0 (т.к. если ǀr1-r2ǀ≠0, то ǀr1-r2ǀ≥n, т.к. ǀr1-r2ǀ⁞n) ⇒ r1-r2=0 ⇒ r1=r2

 

 

Сравнение по модулю n.Эквивалентные условия.Классы вычетов(кл.выч.), их кол-во. Операц-и на них, корректн-ть операц-й.

Опр. a,bϵz, nϵN. Говорят,что а≡b (mod n) (a сравнимо с n по mod n) или ф*b⁞n

ОПР:Классы эквивал.-ти по отношен. Сравн-ти по модулю n.наз-ся кл.выч.

ОБОЗН: a∈ℤ, n∈ ℕ

[a]=mod n={b∈ℤ , b≡a (mod n)}= ā

ℤ/≡mod n= ℤn–мн-во всех кл.выч. по mod n

ЗАМ: a,b∈ℤ, n∈ ℕ, ā= ó ab (mod n)

Следст.: имеется ровно n кл.выч по mod n, столько сколько ∃ остатков при делении на n.

ОПР: Опр-ые на ℤn операц. (∀a,b∈ℤ), положим ā +b(с чертой)=a+b(под одной чертой), a*b=a*b(аналогично)

Предл.: операц. на ℤn опр-ны корректно.

(b`=b c чертой)

Док-во: ā= ā1, b`=b`1 => a≡a1(modn) ; b≡b1(modn) => a+b≡a1+b1(modn)

ab=a1b1(modn) => a+b(общая черта)=а1+b1(о.ч); ab(о.ч)=a1b1(о.ч)

 

12!

Группы,абелевы гр.мульти-ая и аддит-ая

Форма записи.Примеры групп.

Опр.(группы)-непустое мн-во G с опред.на нем

Бинарной алгебраической операцией(умнож.)

Н-ся группой,если: (1) она ассоциативна:

( ∀a,b,c∈G) (ab)c=a(bc)

(2)Имеет единицу: (∃е∈G)( ∀a∈G) ae=ea=a

(3)Имеет обратную: (∀a∈G)(∃a¯¹∈G) aa¯¹=a¯¹a=e

Опр.(абелева гр)группа G н-ся коммутативной

или абелевой,если(∀a,b∈G) ab=ba

Зам.форма записи,при которой операция в гр.

Обозначается точкой,н-ся мультип-ой.Иногда

И только для абелевых гр.используется

Аддит-ая форма зап.

Мулип-ая ф.з Аддит-ая ф.з
Умножение (∙) Сложение (+)
Единица (1,е) Ноль (0)
Обратный (а¯¹) Противополож.(-а)

 

Примеры групп: ℕ∙ не явл.гр(нет обрат.у 2,3)

ℚ∙ не явл.гр.(нет обрат.у 0)

ℚ/{0}∙ абелева гр. ℤ+ абелева гр. ℤn+ абелева гр.

 

Группы.Простейшие св-ва групп(с док-ми)

Опр.(группы)-непустое мн-во G с опред.на нем

Бинарной алгебраической операцией(умнож.)

Н-ся группой,если: (1) она ассоциативна:

( ∀a,b,c∈G) (ab)c=a(bc)

(2)Имеет единицу: (∃е∈G)( ∀a∈G) ae=ea=a

(3)Имеет обратную: (∀a∈G)(∃a¯¹∈G) aa¯¹=a¯¹a=e

Простейшие свойства групп:

Пусть <G,∙>-группа

(1)е-единственна Д-во: Пусть е1,е2-единицы в G

е1=е1е2=е2(т.к е1 и е2 единицы) ч.т.д

(2)(∀а∈G)a¯¹ единственна Д-во: пусть а¯¹,а׳- обр.к а

а׳=ea׳=(a¯¹a)a׳=a¯¹(aa׳)=a¯¹e=a¯¹ ч.т.д.

(3) (∀a,b∈G)каждое ур-ее ax=b и ya=b имеет единств.

решение. Д-во: ax=b,возьмем х=а¯¹b⇒ax=a(a¯¹b)=

=(aa¯¹)b=eb=b⇒т.е х-решение

С др.стороны: Пусть ∃d∈G: ad=b⇒умнож.на а¯¹

а¯¹(ad)=a¯¹b=(a¯¹a)d=a¯¹b⇒ed=a¯¹b⇒d=a¯¹b

(ур-ее ya=b аналогич.(y=ba¯¹)

(4)св-во сокращения( ∀a,b,c∈G) ab=ac⇒b=c

ba=ca⇒b=c Д-во: Пусть ab=ac⇒(умнож.на а¯¹сл.)

a¯¹(ab)=a¯¹(ac)⇒(a¯¹a)b=(a¯¹a)c⇒eb=ec⇒b=c

аналогич.ba=ca(умнож.на а¯¹сп)

(5) (∀a,b∈G) (ab)¯¹=b¯¹a¯¹ Д-во:ab(b¯¹a¯¹)=

((ab)b¯¹)a¯¹=(a(bb¯¹))a¯¹=(ae)a¯¹=aa¯¹=e ч.т.д.

Аналогично (b¯¹a¯¹)(ab)=e

 

 

15!





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.