Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов. Примеры. Простейшие св-ва и признаки л.нез и л.зав систем векторов.





Пусть V – вектороное пространство над полем F. Система в-ов a1,…,аm пространства наз-ся линейно зависимой, если существуют скаляры λ1,…, λ∈F, не все равные нулю, такие, что λ1а1+…+ λm*am=0.

Система в-ов a1,…,аm пространства V наз-ся линейно независимой, если для любых скаляров λ1,…, λ∈F из равенства λ1а1+…+ λmam=0 следуют равенства λ1=0,…, λm=0.

Пример: R² ( (0,0),(1,1) ) л.з. α1(альфа)=1, α2=0. 1*V1+0*V2=(0,0)+(0,0)=(0,0)=0R²(в нижнем индексе)

Свойства и признаки:

1.(V) – л.з <=> V=0.

2.c-а, содержащая 0-й вектор л.з

3.с-а, -//- л.з подсистему л.з

4.(V1,…,Vm)-л.з <=> ∃i∈{1,…,m} Vi=л.комбин остальных векторов

5.Подсистема л.н с-мы л.н.

Док-ва: 1. (<=) V=0v. 1F(F-нижний индекс)*V=1F*0v

(=>) Пусть (V)-л.з. => (∃α∈F, α=0) α*V=0v => (∃α-¹∈F) α-¹( αV)= α-¹*0v => (α-¹ α)V=0v => V=0v

50. Основная лемма о линейной зависимости. Следствия основной леммы о линейной зависимости. Определение. Линейным пространством или векторным пространством над полем называется множествос двумя операциями: -- сложение , где ;

-- умножение на скаляр , где ,
для которых выполнены условия:

1) коммутативность сложения: x+y= y+xдля любых ,

2) ассоциативность сложения: для любых (x+y)+z=x+(y+z) ,

3) существования нейтрального элемента 0 : x+0=xдля любого ,

4) существования противоположного элемента - x : x+(-x)=0 для любого ,

5) для любых и ,

6) для любого ,

7) для любых и ,

8) для любых и .

Следствие. 1) Нейтральный элемент единственен.

2) Противоположный элемент единственен.

3) 0х= 0 .

4) .. 5) .

 

6) тогда и только тогда, когда или x=0 .

Определение. Пусть дана система векторов , где . Линейная комбинация векторов системы -- это выражение вида , где . Линейная комбинация называется тривиальной, если . Система векторов называется линейно зависимой, если существует такая нетривиальная линейная комбинация , что . Система векторов называется линейно независимой, если из равенства следует, что .

Утверждение.[Свойства линейной зависимости] 1) Система (a) , состоящая из одного вектора, линейно зависима тогда и только тогда, когда a=0 .



2) Если m>1 , то система линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов системы линейно выражается через остальные.

3) Если подсистема системы линейно зависима, то и вся система линейно зависима.

4) Система, содержащая нулевой вектор, линейно зависима.

5) Если система линейно независима, а система линейно зависима, то вектор линейно выражается через вектора .

Лемма.[Основная лемма о линейной зависимости и независимости системы] Пусть система векторов линейно независима, а каждый ее вектор линейно выражается через векторы системы . Тогда .

Определение. Система называется максимальной линейно независимойсистемой в линейном пространстве , если любое расширение этой системы линейно зависимо.

Следствие. Если и две максимальные линейно независимые системы в , то m=k .

Определение. Пространство называется -мерным ( ), если в есть максимальная линейно независимая система, состоящая из векторов. Если такой подсистемы нет ни для какого , то . Если , то по определению

Определение. Система векторов называется базисом линейного пространства , если каждый вектор единственным образом записывается в виде линейной комбинации , .

Предложение. Система векторов является базисом в пространстве тогда и только тогда, когда является максимальной линейно независимой системой в .

Предложение. Пусть -- -мерное векторное пространство, . Тогда в существует хотя бы один базис. Более того, каждая линейно независимая система может быть дополнена до некоторого базиса .

Предложение. Система является базисом в -мерном векторном пространстве тогда и только тогда, когда эта система линейно независима и .

Предложение. Система является базисом в -мерном векторном пространстве тогда и только тогда, когда и каждый вектор линейно выражается через эти векторы.

Рассмотрим арифметическое пространство , состоящее из множества строк , . Вектора (на месте стоит ) -- образуют базис.

Следствие. В пространстве система , , является базисом тогда и только тогда, когда





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.