Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Неприводимые многочлены над полем действительных чисел





Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен f над полем F называется неприводимым (простым), если он имеет положительную степень и не имеет нетривиальных делителей (т.е., любой делитель либо ассоциирован с ним, либо с единицей)

Предложение 1

Пусть р – неприводимый и а – любой многочлен кольца F[x]. Тогда либо р делит а, либо р и а – взаимно простые.

Предложение 2

Пусть f ∈ F[x], и степень f = 1, значит, f – неприводимый многочлен.

Например: 1. Возьмем над полем Q многочлен х+1. Его степень равна 1, значит, он неприводим.

2. х2 +1 – неприводим, т.к. не имеет корней

 

СЛУ. Решение системы. Совместные, несовместные, определенные и неопределенные системы. Эквивалентные системы

Системой линейных уравнений над полем F с переменными х1,…хn называется система вида

а11х1 + … + a1nxn = b1

………………………..

am1x1 + … + amnxn = bm

где aik, bi ∈ F, m— количество уравнений, а n — количество неизвестных. Кратко эту систему можно записать так: ai1x1 + … + ainxn = bi (i = 1,…m.)

Эта СЛУ является условием с n свободными переменными х1,….хn.

СЛУ делятся на несовместные (не имеют решений) и совместные (определенные и неопределенные). Совместная система вида называется определённой, если она имеет единственное решение; если же у неё есть хотя бы два различных решения, то она называется неопределённой.

Например: над полем Q

х + у =1

х + у =2 - несовместная система

 

х + у = 1

х – у = 0 - совместная определенная (х, у = ½)

 

х + у = 1

2х + 2у = 2 - совместная неопределенная

 

Две системы л.у. являются эквивалентными, если множества решений этих систем совпадают, то есть, любое решение одной системы одновременно является решением другой. Систему, эквивалентную данной, можно получить:



1. заменив одно из уравнений на это уравнение, умноженное на любое отличное от нуля число.

2. заменив одно из уравнений суммой этого уравнения с другим уравнением системы.

Решение СЛУ осуществляется методом Гаусса.

45* Элементарные преобразования систем линейных уравнений (слу). Метод Гаусса.

Опр.Элементарными преобразованиями С.Л.У н-ся следущие преобразования:

1. Умножения одного из системы уравнений системы на ненулевой элемент поля.

2. Прибавления к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на элемент поля.

3. Добавления к системе или исключение из системы ненулевого уравнения 0*х1+0*х2+…+0*хn=0

4.Перемена местами уравнений

Предл.Пусть система (**)получена ил системы (*) с помощью конечного числа. Элемен-ых преобраз-ий. Тогда система (**)~ система(*). (Без док-ва)

Зам. При записи системы линейных уравнений будем использовать матричную запись.

а11 а12 … а1n в1

а21 а22 … а2n в2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

Примеры: 1) 2х1 – х3 = 1 2 0 -1 1

х1 – х2 – х3 = 0 1 -1 -1 0

3х1 + 2х2 + 4х3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 х1=1

0 1 2 х2=2

3) 1 0 1 2 х1+х3=2 х1=2-х3

0 1 -1 3 х2-х3=3 х2=3+х3

Метод Гаусса

Предл.Пусть имеет система (*)

1. Все aij=0

(а) если все свободные члены равны 0 все вк=0 мн-во решений = Fn

(b) k вк=0 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 (решений нет)

2. не все aij=0

(a)если в системе есть уравнение вид 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0

(b)если таких уравнений нет b1. Исключим ненулевые уравнения. Найдем самый маленький индекс i1, такой что не все коэф-ты при xij=0.

0……0……….. …. Второй столбец с нулями это i1.

0……0…..*=0….. ….

……….. …

0……0 ...……… …

1.перестановкой уравнений добьемся, чтобы a1i1 = 0

0 ….. 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(присваивание) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

............ a2i1........... .... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1….. ….. (ступенчатая

............................... .... 0…. 0… а2i1 … 0…..0..0… …. Матрица)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. …………………… ….

0 ….0 ..аmi1 ... 0……0…………0 ….

Через конечное число шагов получим либо система содержит уравнение вида 0х1+0х2+…+0хn= вк=0 0либо

0……0 1………….. L1 “прямой ход Гаусса” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “обратный ход

0.......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.........0.... .. Гаусса”

0 .......00........0....1 L2 0....0 0......0........1.........0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0.........0....0.......1 ..

(i1) (i2)

Переменные xi1, ...... xik назовем главным, остальные свободными.

k=n => c-a определенная

k<n => c-a неопред-ая. Свободным переменным можно предавать производные значения, и вычислять значения главных переменных.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

46





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.