Элементарные преобразования систем векторов. Ступенчатая система векторов.
Пусть 1. 2. 3. Отметим свойства введенного понятия эквивалентности векторов Из Если Т.к. система Отсюда получаем
54-56 57. Матрицы. сложение матриц умножение матрицы на скляр матрицы как векторное пространство его размерность. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов.
aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце. Вид матрицы: квадратная Квадратная матрица - это матрица с равным числом столбцов и строк. Сложение матриц Сложение матриц А+В есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, то есть каждый элемент матрицы равен Сij=Aij + Bij Свойства сложения матриц: 1.коммутативность: A+B = B+A; 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C); 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A; 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ; Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема: Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства).
Умножение матрицы на число Умножение матрицы А на число ¥ (обозначение: ¥A) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен: Bij=¥Aij
Свойства умножения матриц на число: 1. 1A = A; 2. (λβ)A = λ(βA) 3. (λ+β)A = λA + βA 4. λ(A+B) = λA + λB
Вектор-строка и вектор-столбец Матрицы размера m x 1 и 1 x n являются элементами пространств K^n и K^m соответственно:
58. Матрицы. Сложение умножение матриц. Матрицы как кольцо, свойства кольца матриц. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m одинаковой длины строк или n одинаковой длины стробцов. aij- элемент матрицы, который находится в i-ой строке и j-м столбце.
Вид матрицы: квадратная Квадратная матрица - это матрица с равным числом столбцов и строк. Сложение матриц Сложение матриц А+В есть операция нахождения матрицы С, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц А и В, то есть каждый элемент матрицы равен Сij=Aij + Bij Свойства сложения матриц: 1.коммутативность: A+B = B+A; 2.ассоциативность: (A+B)+C =A+(B+C); 3.сложение с нулевой матрицей: A + Θ = A; 4.существование противоположной матрицы: A + (-A) = Θ; Все свойства линейных операций повторяют аксиомы линейного пространства и поэтому справедлива теорема: Множество всех матриц одинаковых размеров mxn с элементами из поля P (поля всех действительных или комплексных чисел) образует линейное пространство над полем P (каждая такая матрица является вектором этого пространства). Умножение матриц Умножение матриц (обозначение: АВ, реже со знаком умножения А х В) — есть операция вычисления матрицы С, каждый элемент которой равен сумме
Количество столбцов в матрице А должно совпадать с количеством строк в матрице В, иными словами, матрица А обязана быть согласованной с матрицей В. Если матрица А имеет размерность m x n, B — n x k, то размерность их произведения AB=C есть m x k. Свойства умножения матриц: 1.ассоциативность (AB)C = A(BC); 2.некоммутативность (в общем случае): AB BA; 3.произведение коммутативно в случае умножения с единичной матрицей: AI = IA; 4.дистрибутивность: (A+B)C = AC + BC, A(B+C) = AB + AC; 5.ассоциативность и коммутативность относительно умножения на число: (λA)B = λ(AB) = A(λB); 59.*Обратимые матрицы. Особенные и неособенные элементарные преобразования строк матрицы. Элементарные матрицы. Умножение на элементарные матрицы. Обратная матрица — такая матрица A−1, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E: Элементарными преобразованиями строк называют:
Аналогично определяются элементарные преобразования столбцов. Элементарные преобразования обратимы.
Обозначение Определение. ^ Элементарной матрицей I-го типа называется (п,п)-матрица Рi,j(с) = Е + сEi,j, i ¹ j. Элементарной матрицей II-го типа называется (п,п)-матрица Рi,j= E1,1+E2,2+…+ Ei-1,i-1+ Ei,j+ Ei+1,i+1+…+Ej-1,j-1+Ej,i+Ej+1,j+1+ +…+ En,n = E - Ei,i - Ej,j + Ei,j + Ej,i, при i ¹ j. Элементарной матрицей III-го типа называется диагональная (п,п)-матрица Рi (c) = diag(1,1,…,c,…,1) = = E1,1 + E2,2 + … + cEi,i + … + En,n = Е + (с – 1)Ei,i, где с ¹ 0. Умножение матриц (обозначение: Количество столбцов в матрице Свойства умножения матриц:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|