Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Делимость, простые и неприводимые элементы





Пусть и — элементы целостного кольца . Говорят, что « делит » или « — делитель » (и пишут ), если и только если существует элемент такой, что .

Делимость транзитивна: если делит и делит , то делит . Если делит и , то делит также их сумму и разность .

Для кольца с единицей элементы , которые делят 1, называются единицами или делителями единицы. Они и только они обратимы в . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда , где e — обратимый элемент.

Ненулевой элемент , не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент называется простым, если из того, что , следует или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

  • Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
    • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
  • Если ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над также будут областями целостности.
  • Если ― коммутативное кольцо с единицей и ― некоторый идеал в , то кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал прост.
  • Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
  • Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
  • Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
  • Для любой области целостности существует поле частных.

Делитель нуля



В общей алгебре ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0.

Аналогично, ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0.

Элемент, который одновременно является и правым, и левым делителем нуля, называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно, то понятия правого и левого делителя совпадают. Ненулевой элемент кольца, который не являются ни правым, ни левым делителем нуля, называется обычным элементом.

Пример: в кольце элементы 2, 3, 4 — делители нуля.

Ассоциативное коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности.

Определение. Пусть А – произвольное кольцо, .

Если , но , тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.

Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.

Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.

Пример 1. Кольцо целых чисел Z является областью целостности.

Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. Построение кольца многочленов.)

Пример 3. Кольцо функций определенных на отрезке [0; 1] является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим

, .

Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке [0; 1], т.е. являются элементами кольца , но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:

,

где по определению полагают , и, очевидно, является нулем кольца.

 





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.