Делимость, простые и неприводимые элементы
Пусть
и
— элементы целостного кольца
. Говорят, что «
делит
» или «
— делитель
» (и пишут
), если и только если существует элемент
такой, что
.
Делимость транзитивна: если
делит
и
делит
, то
делит
. Если
делит
и
, то
делит также их сумму
и разность
.
Для кольца
с единицей элементы
, которые делят 1, называются единицами или делителями единицы. Они и только они обратимы в
. Единицы делят все остальные элементы кольца.
Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда
, где e — обратимый элемент.
Ненулевой элемент
, не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.
Ненулевой необратимый элемент
называется простым, если из того, что
, следует
или
. Это определение обобщает понятие простого числа в кольце
, однако учитывает и отрицательные простые числа. Если
— простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал
будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.
Свойства
- Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
- Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
- Если
― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над
также будут областями целостности. - Если
― коммутативное кольцо с единицей и
― некоторый идеал в
, то кольцо
является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал
прост. - Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
- Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
- Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
- Для любой области целостности существует поле частных.
Делитель нуля
В общей алгебре ненулевой элемент a кольца называется левым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ab = 0.
Аналогично, ненулевой элемент a кольца является правым делителем нуля, если существует ненулевое b такое, что ba = 0.
Элемент, который одновременно является и правым, и левым делителем нуля, называется делителем нуля. Если умножение в кольце коммутативно, то понятия правого и левого делителя совпадают. Ненулевой элемент кольца, который не являются ни правым, ни левым делителем нуля, называется обычным элементом.
Пример: в кольце
элементы 2, 3, 4 — делители нуля.
Ассоциативное коммутативное кольцо
без делителей нуля называется областью целостности.
Определение. Пусть А – произвольное кольцо,
.
Если
, но
, тогда элемент а называют левым делителем нуля, а элемент b – правым делителем нуля. Если А – коммутативное кольцо, то элементы а и b называются делителями нуля.
Определение. Если кольцо не имеет делителей нуля, то оно называется кольцом без делителей нуля.
Определение. Коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля называется областью целостности.
Пример 1. Кольцо целых чисел Z является областью целостности.
Пример 2. Кольцо многочленов над произвольным полем является областью целостности. (Смотри доказательство в Дополнение 2. Построение кольца многочленов.)
Пример 3. Кольцо функций
определенных на отрезке [0; 1] является коммутативным, с единицей, но с делителями нуля. Например, положим
,
.
Тогда f(x) и g(x) – ненулевые функции, определенные на отрезке [0; 1], т.е. являются элементами кольца
, но их произведение, очевидно, равно нулевой функции:
,
где по определению полагают
,
и, очевидно,
является нулем кольца.
Воспользуйтесь поиском по сайту: