Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Количество корней многочлена над областью целостности.




Заказать ✍️ написание работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть - многочлен с коэффициентами из K. Для любого положим

, (7)

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем , когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.

Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)= =f(x0) + g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1) = , где , что и требовалось доказать.

Пусть теперь - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что для любого . Перемножим равенства , . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где . Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что .

Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.

33-35!

36-37. НОД многочленов. Пусть F – поле. ] f,g ϵ F[x], f≠0 или g≠0. НОД f,g н-ся такой мн-тель d ϵ F[x], что: 1. d|f, d|g; 2.

Запись: d=НОД(f,g) Положим, НОД (0,0)=0. Предл: Для любых f,g из F[x]: 1) Сущ. НОД (f,g) 2)НОД(f,g) определён однозначно с точностью до ассоциированности. Пример: d1=НОД(f,g); d1=d2 => d2=НОД(f,g) Об-чим с-лом d произ-ный НОД(f,g), тогда: 3)f≠0, g≠0 => d≠0; 4)( ∃ u,v ϵ F[x]) fu+gv=d; 5)( ∀đ ϵ F[x]) đ|f, đ|g=>đ|d; 6)( ∀L, ß ϵ Fx) d=НОД(Lf, ßg)

Док-во : 1) ] f≠0 или g≠0. Считаем d≠0.Делим с остатком: f=g*q1+r1; deg r1< deg g; g=r1*q2+r2; deg r2< deg r1 => deg g> deg r1> deg r2> ... Каждый элемент ≥0 или =-∞ Через ходы получаем остаток 0. Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления, т.е. используем алгоритм Евклида. rk-1=rk*qk+1+rk+1; rk=rk+1*qk+2+rk+2; rk+1=rk+2*qk+3+0; rk+2=НОД(f,g) a) rk+2|rk+1=>rk+2|rk=>…>rk+2|g=>rk+2|f в) ]đ<F[x], đ|f,đ|g=>đ|r1=>đ|r2=>…=>đ|rk+2=> т.е. rk+2≠0, то deg đ≤rk+2 2в) ]d1=НОД(f,d), d1~d2=>d2=L*d1, LϵFx Т.е. d1|d2; deg d1=deg d2 (deg d2=deg L(=0)+deg d1) 1)d1|f, d1|g=>d2|f,d2|g; 2)( ∀đϵF[x]) đ|f, đ|g=>deg đ≤deg d1=deg d2, т.е. d2=НОД(f,g). Ос-е без д-ва

38!

Риводимые и неприводимые многочлены. Приводимость многочленов первой степени, многочленов, имеющих корень.

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Приводимый многочлен — многочлен, разложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Приводимые многочлены не являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

 

Определение

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряженными.

Полином , отличный от константы, называется неприводимым в если у нет нетривиального делителя в . В противном случае называется приводимым в .

Рассмотрим полином с рациональными коэффициентами:

Если полином приводим в , то будет приводимым и полином при ; верно и обратное. Представив коэффициенты в виде несократимых дробей, возьмем

знаменатель знаменатель

(здесь обозначает наименьшее общее кратное ) тогда приводимость (или неприводимость) полинома в эквивалентна приводимости (соответственно, неприводимости) в полинома с целыми коэффициентами. Поэтому в дальнейшем будем сразу предполагать . Можно ли пойти дальше и утверждать, что приводимость такого полинома в эквивалентна приводимости его в , т.е. полином раскладывается на произведение полиномов меньших степеней с рациональными коэффициентами тогда и только тогда, когда он раскладывается на произведение полиномов меньших степеней с целыми коэффициентами?

Теорема. Если полином

имеет рациональный корень, представленный в виде несократимой дроби , то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель делителем старшего коэффициента .

Доказательство. Условие эквивалентно

Это равенство можно переписать либо в виде

либо в виде

Из первого равенства следует, что делится на , а из второго — что делится на . Поскольку, по предположению теоремы, дробь несократима, то . Следовательно, число делится на , a — на . ♦

41-42


Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2022 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.
Поможем в написании
> Курсовые, контрольные, дипломные и другие работы со скидкой до 25%
3 569 лучших специалисов, готовы оказать помощь 24/7