Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Количество корней многочлена над областью целостности.




Теорема 1. Кольцо многочленов над областью целостности само является областью целостности.

Данное нами алгебраическое определение многочлена не содержит никакого упоминания о функциях. Тем не менее, с каждым многочленом над областью целостности K можно естественным образом связать функцию, которая определена на K и принимает значения в K.

Пусть - многочлен с коэффициентами из K. Для любого положим

, (7)

где выражение в правой части понимается как результат операций в кольце K. Получаемый при этом элемент называется значением многочлена f(x) в точке x0. (Слово "точка" употребляется по аналогии со случаем , когда x0 можно представлять как точку действительной оси.) Таким образом, каждому элементу x0 кольца K сопоставляется элемент f(x0) того же кольца и тем самым определяется функция на K со значениями в K.

Покажем, что сложение и умножение многочленов согласуются с обычными операциями, производимыми над функциями, когда складываются или, соответственно, перемножаются значения функций в каждой точке.

Рассмотрим два многочлена: , . Пусть h(x) = f(x) + g(x) - их сумма. Докажем, что h(x0)= =f(x0) + g(x0) для любого . В соответствии с формулой (1) = , где , что и требовалось доказать.

Пусть теперь - произведение многочленов f(x) и g(x). Докажем, что для любого . Перемножим равенства , . Пользуясь свойствами операций в кольце K (в частности, коммутативностью и ассоциативностью умножения), получим: , где . Сравнение полученного результата с формулой (2) позволяет сделать вывод, что .

Таким образом, функция, определяемая суммой (соответственно произведением) двух многочленов, есть сумма (соответственно произведение) функций, определяемых этими многочленами.

Вообще говоря, соответствие между многочленами и определяемыми ими функциями не является взаимно однозначным. Однако, если кольцо K бесконечно, то различным многочленам из кольца K[x] всегда соответствуют различные функции.

33-35!

36-37. НОД многочленов. Пусть F – поле. ] f,g ϵ F[x], f≠0 или g≠0. НОД f,g н-ся такой мн-тель d ϵ F[x], что: 1. d|f, d|g; 2.

Запись: d=НОД(f,g) Положим, НОД (0,0)=0. Предл: Для любых f,g из F[x]: 1) Сущ. НОД (f,g) 2)НОД(f,g) определён однозначно с точностью до ассоциированности. Пример: d1=НОД(f,g); d1=d2 => d2=НОД(f,g) Об-чим с-лом d произ-ный НОД(f,g), тогда: 3)f≠0, g≠0 => d≠0; 4)( ∃ u,v ϵ F[x]) fu+gv=d; 5)( ∀đ ϵ F[x]) đ|f, đ|g=>đ|d; 6)( ∀L, ß ϵ Fx) d=НОД(Lf, ßg)

Док-во : 1) ] f≠0 или g≠0. Считаем d≠0.Делим с остатком: f=g*q1+r1; deg r1< deg g; g=r1*q2+r2; deg r2< deg r1 => deg g> deg r1> deg r2> ... Каждый элемент ≥0 или =-∞ Через ходы получаем остаток 0. Если есть остаток, то большее число заменяем на остаток от деления, т.е. используем алгоритм Евклида. rk-1=rk*qk+1+rk+1; rk=rk+1*qk+2+rk+2; rk+1=rk+2*qk+3+0; rk+2=НОД(f,g) a) rk+2|rk+1=>rk+2|rk=>…>rk+2|g=>rk+2|f в) ]đ<F[x], đ|f,đ|g=>đ|r1=>đ|r2=>…=>đ|rk+2=> т.е. rk+2≠0, то deg đ≤rk+2 2в) ]d1=НОД(f,d), d1~d2=>d2=L*d1, LϵFx Т.е. d1|d2; deg d1=deg d2 (deg d2=deg L(=0)+deg d1) 1)d1|f, d1|g=>d2|f,d2|g; 2)( ∀đϵF[x]) đ|f, đ|g=>deg đ≤deg d1=deg d2, т.е. d2=НОД(f,g). Ос-е без д-ва

38!

Риводимые и неприводимые многочлены. Приводимость многочленов первой степени, многочленов, имеющих корень.

Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

Приводимый многочлен — многочлен, разложимый на нетривиальные (неконстантные) многочлены. Приводимые многочлены не являются неприводимыми элементами кольца многочленов.

 

Определение

Неприводимый многочлен над полем ― многочлен от переменных над полем является простым элементом кольца , то есть, непредставим в виде произведения , где и ― многочлены с коэффициентами из , отличные от констант.

Многочлен называется абсолютно неприводимым, если он неприводим над алгебраическим замыканием поля коэффициентов. Абсолютно неприводимые многочлены одной переменной ― это многочлены 1-й степени и только они. В случае нескольких переменных существуют абсолютно неприводимые многочлены сколь угодно высокой степени — например, любой многочлен вида

абсолютно неприводим.

Корни неприводимого многочлена называются сопряженными.

Полином , отличный от константы, называется неприводимым в если у нет нетривиального делителя в . В противном случае называется приводимым в .

Рассмотрим полином с рациональными коэффициентами:

Если полином приводим в , то будет приводимым и полином при ; верно и обратное. Представив коэффициенты в виде несократимых дробей, возьмем

знаменатель знаменатель

(здесь обозначает наименьшее общее кратное ) тогда приводимость (или неприводимость) полинома в эквивалентна приводимости (соответственно, неприводимости) в полинома с целыми коэффициентами. Поэтому в дальнейшем будем сразу предполагать . Можно ли пойти дальше и утверждать, что приводимость такого полинома в эквивалентна приводимости его в , т.е. полином раскладывается на произведение полиномов меньших степеней с рациональными коэффициентами тогда и только тогда, когда он раскладывается на произведение полиномов меньших степеней с целыми коэффициентами?

Теорема. Если полином

имеет рациональный корень, представленный в виде несократимой дроби , то ее числитель является делителем свободного члена , а знаменатель делителем старшего коэффициента .

Доказательство. Условие эквивалентно

Это равенство можно переписать либо в виде

либо в виде

Из первого равенства следует, что делится на , а из второго — что делится на . Поскольку, по предположению теоремы, дробь несократима, то . Следовательно, число делится на , a — на . ♦

41-42





Рекомендуемые страницы:

Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015- 2021 megalektsii.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав.