Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

Создадим имитирующий портфель безрискового заимствования (ссуды), увязанный с изменением базового актива, для создания денежного потока.

Портфель-имитатор для колл-опциона с ценой исполнения X включает заимствование В (долл.) и приобретение h акций базового актива. Его стоимость в момент 0 равна (hS +B), а величина h называется коэффициентом хеджирования или дельтой (Δ). Стоимость портфеля в момент 1 будет равна либо (hS_u + RB), либо (nS_d +RB). Основным условием решения является выбор таких величин h и В, чтобы стоимость портфеля в момент 1 была бы равной выплате по колл-опциону:

hS_u + RB = C_u и nS_d +RB = C_d,

где C_u – стоимость колл-опциона, если цена акции равна S_u;

C_d – стоимость колл-опциона, если цена акции равна S_d.

Решая систему уравнений, получаем:

h = ≥ 0 и B = .

В биноминальном процессе со многими периодами оценка стоимости опциона должна начинаться с заключительного временного периода и идти назад по времени к текущему моменту (нулевому моменту). Портфели, имитирующие (воспроизводящие) опцион, оцениваются на каждом шаге, что и позволяет выявить стоимость опциона на всех шагах. Заключительный шаг биноминальной модели оценки опциона устанавливает стоимость опциона в единицах имитирующего портфеля, составленного из h акций (Δ акций или дельты опциона) базового актива и безрискового заимствования или ссуды.

Пример. Необходимо оценить колл-опцион с ценой базового актива равной $160 за акцию (S= $600). Изменение цены происходит в соответствии с биноминальным процессом: цена от любого своего значения S может либо возрастать до S×1,5, либо уменьшаться до S×0,5. Ставка непрерывного начисления процентов за период составляет r = 18,232% (r = 0.18232). Оценим Европейский колл-опцион на эту акцию с ценой исполнения в $150 и тремя периодами до окончания срока действия. Изменение цены акции и результат расчета стоимости опциона показаны на рис. 5.2.

Рис. 5.2.

Используемые параметры: S = $160; X = $150; n = 3; u = 1,5; d = 0,5; R = e^r = 1,2; r = 18,232% или 0,18232; p = 0,7; 1-p = 0,3; h см. табл.5.3.

Как указывалось в условии примера, цена акции биноминально может возрастать, либо уменьшаться в стоимости:

S → S_u → S_uu → S_uuu или $160 → $240 → $360 → $540;

S → S_d → S_dd → S_ddd или $160 → $80 → $40 → $20,

а стоимости колл-опциона:

С → С_u → С_uu → С_uuu или $85,069 → $141,458 → $235 → $390,

И иметь промежуточные значения.

Расчет стоимости европейского колл-опциона ведётся по формуле:

С = hS ± B = = 0,82031 × $160 - 46,1806 =

= =

= = = 85,069.

Оценка отдельных значений стоимости колл-опциона производится посредством процедуры обратной индукции. Стоимости конечных значений колл-опциона определяются следующим образом:

С_uuu = S_uuu – Х = 540 – 150 = 390;

С_uud = S_uud – Х = 180 – 150 = 30;

С_udd = S_udd – Х = 60 – 150 => 0;

С_ddd = S_ddd – Х = 20 – 150 => 0.

Далее используя логику расчёта стоимости колл-опциона для С, определяются и остальные значения.

Расчет производится так:

С_uu = = = = 235;

С_ud = = = = 17,5;

С_u = = = = 141,458;

С_d = = = = 10,208.

Далее, для проведения более детального анализа, рассчитываются вероятности (они могут рассчитываться и на начальной стадии) и значения дельты (h = Δ):

р = , h = .

Данные расчета вероятностей и значений дельта приведены на рис. 5.3.

Рис. 5.3

Более сложной для восприятия, но вместе с тем очень широко употребляемой в инвестиционной отрасли, является оценка стоимости опциона по формуле Блэка-Шоулза. Очевидно, что установление цены венчурного проекта будет зависеть не только от внутреннего состояния, но и от внешней среды. В связи с этим реальное значение цены опциона может изменяться непрерывно. Это особенно свойственно акциям и облигациям, цена которых меняется непрерывно даже в течение одного биржевого дня.

Именно в этом случае для определения стоимости опциона с исполнением в конце периода используют формулу Блэка-Шоулза.

Формула Блэка-Шоулза.

Стоимость европейского колл-опциона определяется по формуле:

C(t) = S×F(d₁)- Xe^-rt×F(d₂),

где d₁ = и d₂ = d₁ -

где S - цена базового актива в текущий момент;

X - цена исполнения опциона;

σ - стандартное отклонение цены базового актива;

t – периоды (время) исполнения опциона относительно текущего момента;

r - безрисковая ставка доходности (например, банковская);
F(d) - кумулятивная (интегральная) функция нормального распределения.

Пример (источник [Дамодаран]). 26 марта акции Cisco Systems продавались по цене $13,62 (S = $13,62), а 6 июле того же года акции продавались с ценой исполнения $15 (X=$15). Оценить правильность установления размера колл-опциона, если другие параметры составляли:

срок жизни опциона (6 + 30 +31 + 30 + 6 = 103) = 103/365 = 0,2822;

безрисковая ставка = 4,63 (r = 0,0463);

стандартное отклонение σ = 81% (σ = 0,81).

Подставив данные значения в модель, получим:

d₁ = = =