Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Создадим имитирующий портфель безрискового заимствования (ссуды), увязанный с изменением базового актива, для создания денежного потока.




Портфель-имитатор для колл-опциона с ценой исполнения X включает заимствование В (долл.) и приобретение h акций базового актива. Его стоимость в момент 0 равна (hS +B), а величина h называется коэффициентом хеджирования или дельтой (Δ). Стоимость портфеля в момент 1 будет равна либо (hSu + RB), либо (nSd +RB). Основным условием решения является выбор таких величин h и В, чтобы стоимость портфеля в момент 1 была бы равной выплате по колл-опциону:

hSu + RB = Cu и nSd +RB = Cd,

где Cu – стоимость колл-опциона, если цена акции равна Su;

Cd – стоимость колл-опциона, если цена акции равна Sd.

Решая систему уравнений, получаем:

h = ≥ 0 и B = .

В биноминальном процессе со многими периодами оценка стоимости опциона должна начинаться с заключительного временного периода и идти назад по времени к текущему моменту (нулевому моменту). Портфели, имитирующие (воспроизводящие) опцион, оцениваются на каждом шаге, что и позволяет выявить стоимость опциона на всех шагах. Заключительный шаг биноминальной модели оценки опциона устанавливает стоимость опциона в единицах имитирующего портфеля, составленного из h акций (Δ акций или дельты опциона) базового актива и безрискового заимствования или ссуды.

Пример. Необходимо оценить колл-опцион с ценой базового актива равной $160 за акцию (S= $600). Изменение цены происходит в соответствии с биноминальным процессом: цена от любого своего значения S может либо возрастать до S×1,5, либо уменьшаться до S×0,5. Ставка непрерывного начисления процентов за период составляет r = 18,232% (r = 0.18232). Оценим Европейский колл-опцион на эту акцию с ценой исполнения в $150 и тремя периодами до окончания срока действия. Изменение цены акции и результат расчета стоимости опциона показаны на рис. 5.2.

Рис. 5.2.

Используемые параметры: S = $160; X = $150; n = 3; u = 1,5; d = 0,5; R = er = 1,2; r = 18,232% или 0,18232; p = 0,7; 1-p = 0,3; h см. табл.5.3.

 

Как указывалось в условии примера, цена акции биноминально может возрастать, либо уменьшаться в стоимости:

S → Su → Suu → Suuu или $160 → $240 → $360 → $540;

S → Sd → Sdd → Sddd или $160 → $80 → $40 → $20,

а стоимости колл-опциона:

С → Сu → Сuu → Сuuu или $85,069 → $141,458 → $235 → $390,

И иметь промежуточные значения.

Расчет стоимости европейского колл-опциона ведётся по формуле:

С = hS ± B = = 0,82031 × $160 - 46,1806 =

= =

= = = 85,069.

Оценка отдельных значений стоимости колл-опциона производится посредством процедуры обратной индукции. Стоимости конечных значений колл-опциона определяются следующим образом:

Сuuu = Suuu – Х = 540 – 150 = 390;

Сuud = Suud – Х = 180 – 150 = 30;

Сudd = Sudd – Х = 60 – 150 => 0;

Сddd = Sddd – Х = 20 – 150 => 0.

Далее используя логику расчёта стоимости колл-опциона для С, определяются и остальные значения.

Расчет производится так:

Сuu = = = = 235;

Сud = = = = 17,5;

Сu = = = = 141,458;

Сd = = = = 10,208.

Далее, для проведения более детального анализа, рассчитываются вероятности (они могут рассчитываться и на начальной стадии) и значения дельты (h = Δ):

р = , h = .

Данные расчета вероятностей и значений дельта приведены на рис. 5.3.

 

Рис. 5.3

Более сложной для восприятия, но вместе с тем очень широ­ко употребляемой в инвестиционной отрасли, является оценка стоимости опциона по формуле Блэка-Шоулза. Очевидно, что установление цены венчурного проекта будет зависеть не только от внутреннего состояния, но и от внешней среды. В связи с этим реальное значение цены опциона может изменяться непрерывно. Это особенно свойственно акциям и облигациям, цена которых меняется непрерывно даже в течение одного биржевого дня.

Именно в этом случае для определения стоимости опциона с исполнением в конце периода используют формулу Блэка-Шоулза.

Формула Блэка-Шоулза.

Стоимость европейского колл-опциона определяется по формуле:

C(t) = S×F(d1)- Xe-rt×F(d2),

где d1 = и d2 = d1 -

где S - цена базового актива в текущий момент;

X - цена исполнения опциона;

σ - стандартное отклонение цены базового актива;

t – периоды (время) исполнения опциона относительно текущего момента;

r - безрисковая ставка доходности (например, банковская);
F(d) - кумулятивная (интегральная) функция нормального распределения.

Пример (источник [Дамодаран]). 26 марта акции Cisco Systems продавались по цене $13,62 (S = $13,62), а 6 июле того же года акции продавались с ценой исполнения $15 (X=$15). Оценить правильность установления размера колл-опциона, если другие параметры составляли:

срок жизни опциона (6 + 30 +31 + 30 + 6 = 103) = 103/365 = 0,2822;

безрисковая ставка = 4,63 (r = 0,0463);

стандартное отклонение σ = 81% (σ = 0,81).

Подставив данные значения в модель, получим:

d1 = = =

= = = 0,0212,

d2 = d1 - = 0,0212 – 0,81× =

= 0,0212 – 0,430292 = - 0,4091.

В электронной таблице Exсel найдем значения функции нормального распределения F1(0,0212) и F2(- 0,4091):

F(d1) = 0,508465 = 0,5085; F(d2) = 0,341233 = 0,3412.

Подставив полученные значения в формулу Блэка-Шоулза получим оценку стоимости колл-опциона на акции Cisco с ценой исполнения $15:

С = S×F(d1) - X×e-rt× F(d2) = $13,62×0,5085 - $15×exp(-0,0463×0,2822) ×0,3412 =

= $6,92577 – $15 × 0,999018 × 0,3412 = 6,92577 – 5,113471 = $1,81.

Если учесть, что стоимость опциона в цене исполнения составляла:

$15 – $13,62 = $1,38 < $1,81, то колл-опцион был несколько недооценён.

 





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2023 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...