Диффузия. Теплопроводность. Внутреннее трение (вязкость)

 

Необратимые процессы, в результате которых в системе, находящейся в неравновесном состоянии, происходит пространственный перенос какой-либо физической величины, называются явлениями переноса. Неравновесное состояние характеризуется градиентом физической величины, модуль которого определяется первыми производными по координатам, а направление совпадает с направлением наискорейшего возрастания. Перенос физической величины осуществляется в направлении, обратном ее градиенту, что приводит к выравниванию значений физической величины во всех точках. Система приближается к равновесному состоянию самопроизвольно вследствие хаотического движения молекул. Интенсивность переноса физической величины характеризуется ее потоком, т.е. значением физической величины, переносимым в единицу времени через некоторую поверхностью. Каждое из явлений переноса характеризуется своим кинетическим коэффициентом, который зависит от свойств вещества и параметров его состояния.

Элементарная теория явлений переноса в газах основана на понятии средней длины свободного пробега молекул, которая представляет из себя расстояние, проходимое молекулой за среднее время между столкновениями <t> со средней скоростью <v>:

<l> = <v>/<n> = <v><t>,

где <n> = - среднее число столкновений в единицу времени (средняя частота столкновений),

Замечание 1. Для сферических частиц

<l> = ,

где n - концентрация молекул,

d - средний диаметр молекулы.

Рассмотрим три основных явления переноса: диффузию (перенос частиц или массы), теплопроводность (перенос энергии) и внутреннее трение (перенос импульса).

Диффузией называется процесс выравнивания концентрации частиц в различных частях вещества вследствие теплового движения (перенос вещества). За счет диффузии происходит взаимное проникновение одних веществ в другие (распределение запахов, дыма и т.д.). Наиболее быстро диффузия происходит в газах, медленнее - в жидкостях и, еще медленнее - в твердых телах. Диффузия в газах может быть описана наиболее просто, если принять ряд упрощающих предположений.

Во-первых, пусть за счет воздействия извне неравновесное состояние (разные концентрации в разных областях) поддерживается достаточно долго. Вследствие этого диффузия будет стационарной.

Во-вторых, будем считать, что нарушение равновесия невелико. Это означает, что изменение концентрации некоторого газа на длине свободного пробега <l> значительно меньше самой концентрации: (dn/dx)·<l> << n.

Перенос вещества при диффузии описывается экспериментальным законом Фика:

dN = - D(dn/dx)DSdt,

где dN - число молекул, переносимых за время dt через площадку DS по направлению ее нормали,

D - коэффициент диффузии.

Знак “ - ” обусловлен тем, что вещество переносится в сторону противоположную градиенту концентрации.

Найдем кинетический коэффициент диффузии D, исходя из молекулярно-кинетических представлений. Пусть изменение концентрации газа описывается функцией n(x) так, что градиент концентрации направлен против оси x (рис. 20).

 

Рис. 20. Диффузия

 

Число молекул dN, которые пересекут площадку DS за время dt, можно найти из следующих соображений. В направлении площадки DS движется примерно 1/6 часть всех молекул, находящихся от нее на расстоянии <v>dt. Тогда поток молекул слева - направо будет равен

dN⁺ /dt = (1/6)n⁺<v>DS,

где n⁺ - концентрация молекул слева от площадки DS и равная примерно концентрации n(x -<l>).

Аналогично поток молекул справа - налево будет равен:

dN^- /dt =(1/6)n^- <v>DS = (1/6)n(x+<l>)<v>DS.

Суммарный поток найдем как сумму этих двух потоков, учитывая их противоположные направления:

dN/dt = dN⁺/dt - dN^-/dt = (1/6)<v>DS {n(x -<l>) - n(x + <l>)}

или

dN/dt=(1/6)<v>DS{n(x) - (dn/dx)<l> - n(x) - (dn/dx)<l>} = (1/3)<v>DS{- (dn/dx)<l>}.

Откуда

dN = - (1/3)<v><l>(dn/dx)DSdt..

Из сравнения кинетический коэффициент диффузии будет равен:

D = (1/3)<v><l>.

Теплопроводностью называется процесс выравнивания температуры в различных частях вещества вследствие теплового движения молекул (перенос энергии). При тех же упрощающих предположениях: стационарности процесса и малости отклонений от равновесия, теплопроводность описывается эмпирическим законом Фурье:

dQ = - k(dT/dx)DSdt,

где dQ - количество теплоты (энрегии), переносимое за время через площадку DS по направлению к ее нормали;

k - коэффициент теплопроводности.

Знак “ - ” обусловлен тем, что энергия переносится в сторону противоположную градиенту температуры. Пусть градиент температуры направлен против оси x (рис. 21).

 

Рис. 21. Теплопроводность

 

Поскольку температура различна в разных местах вещества, то различна и средняя кинетическая энергия молекулы <e> = (i/2)kT. Вследствие хаотического движения молекулы перемещаются и переносят некоторую энергию. Энергия, перенесенная слева - направо за время dt через площадку DS, будет равна:

dE⁺ = (1/6)n<v><e>⁺DSdt,

где <e>⁺ = (i/2)kT(x - <l>) - средняя кинетическая энергия молекулы на расстоянии <l> cлева от площадки DS.

Аналогично, энергия перенесенная за то же время справа - налево равна:

dE^- = (1/6)n <v><e>^-DSdt = (1/6)n v>(i/2)kT(x - <l>)DSdt.

Полное количество энергии (теплоты), перенесенное за время dt через площадку DS, будет равно:

dQ = dE⁺ - dE^- = (1/6)n <v>(i/2)k{T(x-<l>) - T(x+<l>)}DSdt =

Или

dQ = (1/6)n <v>(i/2)k{T(x) - (dT/dx)<l> - T(x) - dT/dx)<l>}DSdt.

Окончательно получим:

dQ = - (1/3)n <v>(i/2)k<l>(dT/dx)DSdt.

Тогда кинетический коэффициент теплопроводности выражается формулой:

k = (1/3)<v><l>(i/2)nk.

Явлением внутреннего трения называется возникновение сил сопротивления между слоями газа (жидкости), перемещающимися с различными скоростями, вследствие теплового движения молекул. В перемещающихся слоях молекулы участвуют одновременно в двух движениях: хаотическом (тепловом) со средней скоростью <v> (<v> 500м/с при температуре Т = 300 К), и упорядоченном движении со скоростью потока u. Обычно u намного меньше <v>. Если два соприкасающихся слоя двигаются со скоростями u₁ и u₂ соответственно параллельно друг другу, то из-за хаотического движения молекулы будут переходить из одного слоя в другой и переносить с собой импульсы m₁·u₁ или m₁·u₂ (рис. 22).

 

 

Рис. 22. Явление внутреннего трения

Поэтому внутреннее трение обусловлено переносом импульса направленного движения молекул. В итоге, импульс слоя, движущегося медленнее, с приходом молекул из соседнего слоя увеличивается (слой ускоряется), а импульс слоя, движущегося быстрее, наоборот, уменьшается (слой тормозится). Другими словами, к слоям как будто бы приложены противоположные силы, равные по модулю. Эти силы стремятся уравнять скорости (импульсы) направленного движения молекул в различных слоях.

В механике жидкостей и газов для силы внутреннего трения справедлив эмпирический закон Ньютона:

F_тр = - h(du/dz)DS,

где h - коэффициент вязкости.

Так как по второму закону Ньютона F_тр = ½d P ½/dt, то

dP_z = - h(du/dz)DSdt.

Знак “ - ” обусловлен тем, что импульс переносится в сторону, противоположную градиенту скорости.

Рассмотрим стационарный процесс внутреннего трения в потоке газа, в котором распределение скоростей направленного движения слоев задается выражением u(z) так, что градиент скорости du/dz направлен против оси z. Проведя ряд преобразований и рассуждений, аналогичных проделанным ранее для других явлений переноса, получим:

dP_z = dP⁺ - dP^- = (1/6)n<v>DSdt m₁u₁(z - <l>) - (1/6)n<v>DSdt m₁u₂(z + <l>).

dP_z = - (1/3)<v><l>nm₁(du/dz)DSdt.

Из сравнения эмпирического закона внутреннего трения и полученного выражения следует, что коэффициент вязкости (кинетический коэффициент явления внутреннего трения) равен:

h = (1/3)<v><l>m₁n = (1/3)<l><v>r.

Сравнивая выражения для кинетических коэффициентов рассмотренных явлений переноса, видим, что k = hС_Vуд = DrC_Vуд.

Замечание 2. Полученные закономерности и кинетические коэффициенты справедливы до тех пор, пока действуют сделанные нами замечания о стационарности потоков физических величин. Например, при сделанных допущениях можно показать, что коэффициент вязкости не зависит от давления. Но при <l> большем характерных размеров неоднородностей коэффициент вязкости начинает зависеть от давления h = h(p).

Замечание 3. Как правило, условия стационарности указанных процессов выполняются сравнительно редко. В технических приложениях преобладают нестационарные процессы, которые описываются более сложными уравнениями.

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: