Тема 7. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
7.1. Производная функции
Определение. Производной функции
Обозначают: Уравнение касательной к кривой
Правила дифференцирования. Производные элементарных функций
1. Производная постоянной равна нулю, т.е. 2. Производная аргумента равна 1, т.е. 3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же сумме производных этих функций, т.е.
4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго, т.е.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений каждого из сомножителей на все остальные:
5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле:
Производные элементарных функций 1) 2)
3)
4) 5) 6) 7) Пример. Найти производную функции Решение. Первой применим формулу
{ применим формулы
={преобразуем выражение}
7.2. Приложения производной
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует в указанном смысле. Итак, если имеется неопределенность вида
Пример. Вычислить предел Решение. При
Преобразуем эту нестандартную неопределенность к стандартному виду (виду дроби): = Для раскрытия полученной стандартной неопределенности « = Используем правило Лопиталя во второй раз: = Пример. Найти уравнение касательной к кривой Решение. Уравнение касательной к графику функции Найдем координаты точки касания: по условию Найдем угловой коэффициент прямой: Запишем уравнение касательной Искомая прямая проходит параллельно найденной касательной, следовательно, их угловые коэффициенты связаны соотношением Таким образом, уравнение касательной
Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой функции положительна внутри некоторого промежутка Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка
Необходимое условие экстремума. Для того, чтобы функция Замечание. Это условие не является достаточным, т.е. производная в точке
Теорема (первое достаточное условие экстремума). Если при переходе через точку Теорема (второе достаточное условие экстремума). Если первая производная Пример. Исследовать на экстремум функцию Решение. 1˚. Область определения функции
3˚. Покажем критическую точку и область определения функции на числовой прямой. Для определения знака производной в полученных интервалах выберем, например,
Следовательно, при всех 4˚. Находим Пример. Найти асимптоты графика функции Решение. 1˚. Область определения
2˚. Исследуем поведение функции на бесконечности:
Следовательно, прямая 3˚. Найдем наклонную асимптоту:
Пример. Провести полное исследование функции Решение. 1˚. Область определения 2˚. Выполняется условие 3˚.Нули функции (точки пересечения с осями координат): 4˚. Вертикальные асимптоты cледует искать в точках разрыва функции
5˚. Рассмотрим поведение функции при Вычислим
Наклонной асимптоты также нет. 6˚. Экстремумы и интервалы монотонности. Найдем
Из рисунка 4 видно, что точки На интервалах
7˚. По результатам исследования построим график. График изображен на рисунке.
7.3. Дифференциал функции
Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно
Определение. Дифференциал независимой переменной
Тогда формулу для дифференциала функции можно записать в виде: Приближенные вычисления с помощью дифференциала.
Пример. Вычислить приближенно Решение. В нашем случае Надо так подобрать Чтобы применить формулу, вычислим производную и найдём значение производной в точке Тогда получим:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|