Тема 9. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Определение. Частным приращением функции Аналогично определяется частное приращение функции
Определение. Частной производной функции двух переменных по одной из этих переменных называется предел отношения соответствующего частного приращения функции к приращению рассматриваемой независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует).
Пусть
Определение. Пусть функция
Определение. Пример. Найти частные производные первого порядка функции Решение. Частная производная функции двух переменных Слагаемое
Частная производная функции
Определение. Точка
Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть точка Теорема (достаточное условие экстремума). Пусть функция а) определена в некоторой окрестности критической точки
б) имеет в этой точке непрерывные частные производные второго порядка
Тогда, если Если
Пример. Исследовать на экстремум функцию Решение. Найдем частные производные
Запишем необходимые условия экстремума функции
Решим полученную систему уравнений. Для этого выразим из второго уравнения Обозначим Из условия Из условия В соответствии с формулой Таким образом, критическими точками заданной функции будут
Для проверки достаточного условия экстремума найдем частные производные второго порядка:
В каждой критической точке М вычислим значения этих производных В точке В точке В точке В точке
Пример. Имеются данные о затратах на обслуживание У (тыс. руб.) и сроке эксплуатации Х (лет) некоторого оборудования.
Пользуясь методом наименьших квадратов аппроксимировать данные линейной зависимостью Решение. Для определения коэффициентов линейной зависимости составим систему нормальных уравнений:
Вычисление необходимых сумм проведем в таблице:
Запишем систему
Таким образом, требуемая линейная зависимость построена: Определим с ее помощью приближенное значение затрат у при сроке эксплуатации Для вычисления суммы квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек дополним расчетную таблицу столбцами
Сумма квадратов отклонений найденной прямой от исходных точек найдена:
Тема 10. Ряды Числовые ряды Определение. Числовым рядом называется бесконечная последовательность чисел
где а Определение. Сумма первых Определение. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности его частичных сумм, т.е.
Число
Определение. Если конечного предела последовательности частичных сумм не существует, то ряд называется расходящимся.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|