Тема 8. Интегральное исчисление функций одной переменной
Неопределённый интеграл Определение. Функция Определение. Совокупность всех первообразных функции
Таким образом:
где
Свойства неопределенного интеграла 1) Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, т.е.
2) Дифференциал неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению, т.е. d 3) Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, т.е.
4) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.
5) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
Некоторые табличные интегралы
1) Метод замены переменной (метод подстановки). Пусть заданный интеграл
Теорема. Пусть
2) Метод интегрирования по частям.
Пусть Интегрируя левую и правую часть, имеем
Полученная формула называется формулой интегрирования по частям для неопределенного интеграла.
Пример 1. Вычислить интеграл Решение.
Пример 2. Вычислить интеграл Решение.
Пример 3. Вычислить интеграл Решение.
8.2. Определенный интеграл Определение. Определенным интегралом от функции
Геометрический смысл определенного интеграла Пусть на отрезке
Свойства определенного интеграла 1) Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
2) Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций:
3) При перестановке пределов интегрирования знак определенного интеграла меняется на противоположный:
4) Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей:
5) Если на отрезке
т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать. Теорема. Пусть функция
Теорема. Пусть функция
Формула замены переменной в определенном интеграле. Пример. Вычислить определенный интеграл Решение.
Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение. Для построения фигуры найдем точку пересечения линий Данная фигура ограничена двумя линиями
Вычислить определенный интеграл Решение.
Несобственный интеграл Определение. Несобственным интегралом с бесконечным верхним пределом
Если этот предел существует, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае – расходящимся.
Аналогично определяется несобственный интеграл от непрерывной функции с бесконечным нижним пределом интегрирования, а именно
Несобственный интеграл с двумя бесконечными пределами интегрирования обозначается символом
Пример. Вычислить несобственный интеграл Решение.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|