Основы корреляционного анализа

Корреляционным моментом μ_xy случайных величин X и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:

μ_xy = M {[ X – M (X) ] [ Y – M (Y) ]}.

Для дискретных случайных величин

μ_xy = ;

для непрерывных величин

μ_xy =

Корреляционный момент служит для характеристики связи между величинами X и Y. μ_xy = 0, если X и Y независимы. Корреляционный момент имеет размерность, равную произведению размерностей X и Y. Для того, чтобы устранить этот недостаток, вводят новую числовую характеристику – коэффициент корреляции.

Коэффициент корреляции ρ_xy случайных величин X и Y – это отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин:

ρ_xy = μ_xy / (σ_x σ_y)

Очевидно, что коэффициент корреляции независимых случайных величин равен нулю. Абсолютная величина ρ_xy не превышает 1: | ρ_xy | ≤ 1.

Коэффициенткорреляции ρ_xy – количественная характеристика степени линейной зависимости случайных величин. Чем ближе значение ρ_xy к 1,темменьше дисперсия, т.е. отклонение Y от наилучшего линейного приближения вида Y = aX + b.

Две случайные величины называются коррелированными, если их корреляционный момент (коэффициент корреляции) отличен от нуля. X и Y называются некоррелированными, если их корреляционный момент равен 0. Две коррелированные случайные величины также и зависимы. Обратное не всегда верно, т.е. из зависимости случайных величин еще не следует их коррелированность. Из независимости двух величин следует их некоррелированность, но из некоррелированности еще нельзя сделать вывод о независимости этих величин.

Однако, из некоррелированности нормально распределенных величин вытекает их независимость.

Оценкой коэффициента корреляции является выборочный коэффициент корреляции r_xy. Для его определения необходимо знать оценки следующих параметров: M(x), M(y), σ_x, σ_y, т.е. , , s_x, s_y.

r_xy =

При большом числе наблюдений данные группируются и записываются в виде корреляционной таблицы, построенной на основе интервального ряда. Тогда

r_xy =

где x,y – варианты признаков X и Y; n_xy – частота пары вариант (x,y); n – объем выборки.

Выборочный коэффициент корреляции r_xy является оценкой коэффициента корреляции ρ_xy генеральной совокупности и также как он служит для измерения линейной связи между величинами – количественными признаками X и Y. Если выборка имеет достаточно большой объем и репрезентативна, то заключение о тесноте связи между признаками, полученное по данным выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность.

Выборочный коэффициент корреляции является точечной оценкой коэффициента корреляции генеральной совокупности. Из равенства нулю выборочного коэффициента корреляции еще не следует равенство нулю самого коэффициента корреляции. Необходимо проверить значимость выборочного коэффициента корреляции r, т.е. установить, достаточна ли его величина для обоснованного вывода о наличии корреляционной связи, и только потом делать выводы. Для этого выдвигают и проверяют нулевую гипотезу H₀: ρ = 0. Предполагая, что случайные величины подчиняются двумерному нормальному распределению, вычисляют статистику

t = r ,

которая распределена по закону Стьюдента с k = n-2 степенями свободы. По таблице t – распределения находят критическое значение t_кр(α, k) при уровне значимости α и степени свободы k. Если │t │≥ t_кр, нулевую гипотезу об отсутствии корреляционной связи между признаками X и Y отвергают. В противном случае, когда │t │< t_кр, нет оснований отвергать нулевую гипотезу.

Гипотезу H₀: ρ = 0 можно проверить, сравнив значение выборочного коэффициента корреляции с r_кр, найденным по таблице Фишера-Йетса по параметрам – уровню значимости α и объему выборки (r_кр(0,05; 50) = 0,273). Если │r_набл │> r_кр, гипотеза H₀ отвергается.

В случае значимого выборочного коэффициента корреляции имеет смысл построение доверительного интервала для коэффициента корреляции ρ. Для оценки коэффициента корреляции нормально распределенной генеральной совокупности (при n ≥ 50) можно воспользоваться формулой

r – 3 .