 |
Продолжительность нагрева пластины до температуры tпов находим из уравнения (31)
|
|
|
|
Продолжительность нагрева пластины до температуры tпов находим из уравнения (31)
t =.
Продолжительность нагрева цилиндра до температуры tпов находим из уравнения (32)
t =.
42. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 3ГО РОДА
В этом случае задаются температура окружающей среды или внешнего источника тепла и закон теплообмена между средой и поверхностью тела. Граничные условия 3го рода - наиболее общий и часто встречающийся случай.
Например, если теплообмен между окружающей средой, имеющей температуру Тпеч, и поверхностью тела с температурой Тпов осуществляется путём конвективной теплоотдачи, то плотность теплового потока подводимого к телу выражается с помощью формулы Ньютона
q = a( Tпеч - Tпов ).
С другой стороны плотность теплового потока отводимого с поверхности тела внутрь тела выражается формулой Фурье
|
q = -l( )пов
На основании закона сохранения энергии, приравнивая правые части, получим математическую формулу граничных условий 3го рода для случая конвективной теплоотдачи на поверхности тела.
a( Tпеч - Tпов )
|
В этом уравнении известными величинами являются: коэффициент теплоотдачи a, температура среды Tпеч, коэффициент теплопроводности l.
Неизвестнымифункциями времени и координат поверхности тела являются температура поверхности и её градиент.
Аналогичным способом задаются условия расчёта и при теплообмене радиацией.
Рассмотрим нагрев пластины неограниченной длины и ширины, но ограниченной толщины 2S и цилиндра бесконечной длины радиусом R.
Нагрев симметричный.
Нагрев происходит при постоянной температуре печи. При этом в начальный момент времени имеет место равномерное распределение температур по сечению тела
|
|
|
Поскольку плотность теплового потока поступающего на поверхность тела есть
q = a ( tпеч - tпов ),
а тепловой поток, поступающий с поверхности в глубину тела, есть
q = - l× ( ¶t / ¶n ),
то краевые условия записываются следующим образом:
граничные условия
l× ( ¶t / ¶n )|х = ± S = ±a ( tпеч - tпов ); (33)
начальные условия
t|t = 0 = tн. (34)
Подставляя краевые условия (33) (34) в общее решение дифференциального уравнения теплопроводности, после преобразований получим: для пластины
t = tпеч + ( tн - tпеч ). (35)
Здесь значения h 
являются решениями ( корнями ) трансцендентного ( характеристического ) уравнения
ctg h = h /.
Корни этого уравнения представлены в литературе.
Так как постоянная h зависит от критерия Вi, то сумма бесконечного ряда является функцией критериев Fo, Bi и симплекса x / S.
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения функции Ф в зависимости от критериев Fo, Bi и симплекса
x / S приведены в виде графиков в справочной литературе.
По аналогичной методике получено решение для цилиндра бесконечной длины
q = (36)
Это же решение можно выразить и в виде
q = Ф(а× t / R2; a× R / l; r / R ).
Значения функции Ф в зависимости от критериев Fo, Bi и симплекса
r / R также представлены в литературе.
Приведенные решения и графики позволяют находить распределение температур по сечению тела по заданному времени нагрева, или определять время нагрева по заданной температуре тела.
Анализ решений (35), (36) показывает, что ряд в нём быстро сходится. При а× t / S2 ³ 0, 3 - для пластины и а× t / R2 ³ 0, 25 для цилиндра можно ограничиться первым членом ряда и, как показал проф. Г. П. Иванцов погрешность при этом получается не более 1%. В этом случае наступает так называемый ² регулярный режим², теория которого разработана Г. М. Кондратьевым.
|
|
|
Из решений (35) и (36) легко получить разность температур поверхности и центра.
Для пластины
Dt = ( tпеч - tн )× 
,
или
|
|
|
