 |
Структурный граф. Критерии сходимости итерационных методов. Метод Ньютона.. Матричное представление графов.
|
|
|
|
Структурный граф
Отображают физические и причинно- следственные взаимосвязи простых (идеальных) гидравлических или тепловых компонентов, совокупность которых характеризует особенности протекания гидродинамических, тепловых и механических процессов в отдельных элементах системы. В любой системе можно выделить ряд простых компонентов. Компоненты, создающие потенциальную или кинетическую энергию (компоненты истоки), компоненты рассеивающие энергию системы резистивные компоненты.
Компоненты обладающие способностью накапливать вещество или энергию системы (емкостные, аккумуляторы ).
Компонент характеризующие инерционность массы в потоке энергию носителя индукционные компоненты.
На основании определенных идеальных физических компонентах строится граф, связи которого отображают вещества и энергию между идеальными компонентами. Можно анализировать работу гидравлических сетей и установок.
Критерии сходимости итерационных методов.
Система:
.
.
.
Система:
.
.
.
В процессе итераций, если выражение является сжимающимся, то в процессе итерации получается последовательность- является сходящейся и имеет предел, который является решением исходной системы. Условия, при которых отобранная заданная система является сжимающейся будет завесить от способа задания расстояния между телами пространства.
 |  | ||
А/ В/ характерно для любых точек исходных плоскостей и полученных в результате отображения.
Пусть даны две n-мерные точки пространства.
Для применения метода итераций целесообразно систему линейных уравнений «погружать» в пространство с одной из следующих метрик.
|
|
|
, где 
Условия, при которых отображения в пространствах с метриками выражаются через коэффициент при неизвестных в системе уравнений.
Максимальное из сумм коэффициентов при неизвестных по строкам в правой части системы должна быть меньше 1.
Максимальное из сумм модулей коэффициенты при неизвестных в правой части взятых по столбцам должна быть меньше 1.
Сумма квадратов всех коэффициентов неизвестных в правой части должна быть меньше 1.
Задание:
Установить сходимость системы линейных уравнений.
Система:
2, 34x1-4. 21x2-11. 61x3=14. 41
8. 04x1+5. 22x2+0. 27x3=-6. 44
3. 92x1-7. 99x2+8. 37x3=55. 56
Система:
8. 04x1-9. 22x2-0. 27x3=-6. 44
6. 26x1-12. 2x2-3. 24x3=69. 97
2. 34x1-4. 21x2-11. 61x3=14. 41
Система:
X1=-0. 801+0. 033x3+0. 65x2
X2=5. 735-0. 265x3+0. 513x1
X3=0. 202x1-0. 363x2-1. 241
Метод Ньютона.
Очевидным недостатком метода итераций становится искусственные приёмы. При решении систем нелинейных уравнений используют метод Ньютона. Он является обобщением метода касательных для систем из уравнений. При его использовании необходимо построить Якобиан.
I= 
F(x)=0
Xk+1=xk - 
Xk+1=xk – I-1 (xn) f(xn)
Метод применяется для 2-3 уравнений, так как обратный Якобиан может быть найден с использованием алгебраических методов.
Система:
f1(x; y)=0
f2(x; y)=0
Для системы из двух уравнений матрица Якоби имеет вид.
Выражают через производные функции:
Система:
f1(x; y)=y3-x2-1
f2(x; y)=yx3-x-4
Матричное представление графов.
Рассмотрим несколько видов графов:
1. Матрица смежности [S].
0- Вершины графа, элементы принципиальной схемы, число строк и столбцов, количество вершин в графе.
0- Если i-ой и j-ой вершины нет дуги;
1- Если есть дуга;
На диагонали матрицы ставятся нули. Дуга ставится по стрелке.
|
|
|
2. Матрица изоморфности процессов [D].
Число строк- число вершин, а число столбцов максимальное число дуг входящих и выходящих в i-ую вершину графа.
Дуги, выходящие из вершины графа с «+» дуги входящие «-«. Не является структурной не может служить носителем информации при обработке на компьютере информации. При анализе структуры энергетической системы моделируемой данным графом.
| -6 | -21 | |||
| -20 | ||||
| -14 | -15 | |||
| -11 | -13 | -18 | ||
| -19 | ||||
| -12 | -17 | |||
| -7 | -10 | |||
| -16 | ||||
| -5 | -8 | -9 | ||
| -1 | -4 | |||
| -3 | ||||
| -2 |
3. Матрица инциденции [H].
Столбцами матрицы являются элементы графа, а столбцы количество дуг в графе.
0- Если j-ая дуга не связана с i-ой вершиной;
1- Если j-ая дуга входит в i-ую вершину;
-1- Если j-ая дуга выходит из i-ой вершины;
| -1 | -1 | -1 | ||||||||||||||||||
| -1 | ||||||||||||||||||||
| -1 | -1 | |||||||||||||||||||
| -1 | ||||||||||||||||||||
| -1 | ||||||||||||||||||||
| -1 | -1 | -1 | ||||||||||||||||||
| -1 | ||||||||||||||||||||
| -1 | -1 | |||||||||||||||||||
| -1 | ||||||||||||||||||||
| -1 | ||||||||||||||||||||
| -1 | -1 | |||||||||||||||||||
| -1 | -1 | |||||||||||||||||||
| -1 |
|
|
|
