 |
Вопросы для обсуждения. ТЕМА №6. Непараметрические критерии для несвязных выборок. 4. Каковы рекомендации к выбору критерия различий?
|
|
|
|
Вопросы для обсуждения
1. Каково назначение критериев различий? Какова их специфика и основания для классификации?
2. Что такое «мощность критерия различий»? Как мощность критерия связана с его сложностью?
3. Чем отличаются параметрические и непараметрические критерии различий? Какие критерии более универсальны?
4. Каковы рекомендации к выбору критерия различий?
5. Назовите основные непараметрические критерии для связных выборок. Каковы области их применения и назначение?
6. Каково назначение критерия знаков G? В чём состоит смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?
7. Каковы условия применения критерия знаков G?
8. Каков алгоритм подсчёта критерия знаков G?
9. Каково назначение парного критерия Т - Вилкоксона? В чём состоит смысл данного критерия? Какова формулировка статистических гипотез?
10. Каковы условия применения парного критерия Т - Вилкоксона?
11. Каков алгоритм подсчёта парного критерия Т - Вилкоксона?
12. Что называется «сдвигом» при измерении какого-либо признака? Какой сдвиг называется типичным, какой нетипичным?
13. Проведите сопоставительный анализ критерия знаков G и парного критерия Т – Вилкоксона.
ТЕМА №6. Непараметрические критерии для несвязных выборок.
6. 1. Критерии для несвязных выборок.
Несвязные или независимые выборки образуются, когда в эксперименте для сравнения берутся данные двух или более выборок, причём эти выборки могут браться из одной или разных генеральных совокупностей. Таким образом, для несвязных выборок характерно, что в них обязательно входят разные испытуемые.
Для оценки достоверности различий между несвязными выборками используют ряд непараметрических критериев:
|
|
|
1. Критерий U Вилкоксона – Манна – Уитни. (U-критерий Манна – Уитни). Применяется для оценки различий выраженности признака в двух независимых выборках. При этом выборки могут различаться по числу входящих в них испытуемых. Особенно удобен, когда число испытуемых невелико (в обеих выборках не превышает 20), хотя таблицы критических значений рассчитаны до 60 испытуемых.
2. Критерий Q Розенбаума («критерий хвостов»). Проще и менее мощный, чем U-критерий. Основан на сравнении двух упорядоченных, но не обязательно равных по численности рядов наблюдений.
3. H-критерий Крускала-Уоллиса. Применяется для оценки различий выраженности признака между тремя, четырмя и более выборками (в них может быть различное число испытуемых). Позволяет выявить изменение признака, но не указывает направление этого изменения.
4. S-критерий тенденций Джонкира. Выявляет тенденции изменения признака при сопоставлении от 3-х до 6 выборок. Количество элементов в каждой выборке должно быть одинаковым.
В данном пособии рассматриваются алгоритмы U-критерия Манна – Уитни и критерия Q Розенбаума («критерий хвостов»). Критические значения данных критериев определяются по соответствующим справочным таблицам, приведённым в разделе «Таблицы критических значений».
6. 2. U-критерий Манна – Уитни.
Назначение и описание критерия
Критерий предназначен для оценки различий между двумя выборками по уровню какого-либо признака, количественно измеренного. Он позволяет выявлять различия между малыми выборками и является более мощным, чем критерий Розенбаума.
Этот метод определяет, достаточно ли мала зона перекрещивающихся значений между двумя рядами. Первым рядом (выборкой, группой) называют тот ряд значений, в котором значения, по предварительной оценке, выше, а вторым рядом – тот, где они предположительно ниже.
|
|
|
Чем меньше область перекрещивающихся значений, тем более вероятно, что различия достоверны. Эмпирическое значение критерия U отражает то, насколько велика зона совпадения между рядами. Поэтому чем меньше Uэмп, тем более вероятно, что различия достоверны.
Формулировка статистических гипотез:
Н0: Уровень признака в группе 2 не ниже уровня признака в группе 1.
Н1: Уровень признака в группе 2 ниже уровня признака в группе 1.
Условия применения U-критерия Манна – Уитни
1) Измерение должно быть проведено в шкале интервалов и отношений.
2) Выборки должны быть несвязными.
3) Нижняя граница применимости критерия n1≥ 3 и n2≥ 3 или n1=2 и n2≥ 5.
4) Верхняя граница применимости критерия: n1 и n2≤ 60.
(В данном пособии таблица критических значений рассчитана на n1 и n2≤ 40).
Алгоритм подсчёта U-критерия Манна – Уитни
1) Расположить исходные данные в виде таблицы в 4 столбца и n1+n2 строк. В первом столбце расположить по возрастающей данные первой группы. Во втором – второй группы. И первый, и второй столбцы имеют пропуски чисел, обозначенные символом «-».
2) В третьем и четвёртом столбцах расставляются ранги так, как будто бы оба столбца образуют собой один упорядоченный ряд чисел. По каждому столбцу в отдельности подсчитывается сумма рангов.
3) Проводится проверка правильности ранжирования:
а) подсчитывается общая сумма рангов;
б) рассчитывается сумма рангов по формуле: N(N+1)\ 2, где N=n1+n2.
Расчётные суммы должны совпасть.
4) Находится большая по величине сумма рангов и обозначается как Rmax.
5) Вычисляется по формуле
Uэмп= (n1·n2) + nx(nx+1)\2 - Rmax,
где n1 – объём первой выборки,
n2 - объём второй выборки,
Rmax – наибольшая по величине сумма рангов,
nx – количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов.
6) По Таблице 3 находятся критические значения, соответствующие величинам n1 и n2.
7) Строится ось значимости, наносятся критические и эмпирическое значения критерия. Определяется зона попадания Uэмп .
8) Делается вывод.
Пример 6. 1. Две неравные по численности группы испытуемых (8 и 9 испытуемых) решали техническую задачу. Показателем служило время решения. Испытуемые меньшей по численности группы получали дополнительную мотивацию в виде денежного вознаграждения. Психолога интересует вопрос – влияет ли вознаграждение на успешность решения задачи?
|
|
|
Результаты времени решения в секундах:
- в группе с дополнительной мотивацией: 41, 38, 44, 6, 25, 25, 30, 41.
- в группе без дополнительной мотивации: 46, 8, 50, 45, 32, 41, 41, 30, 55.
Решение: Для ответа на вопрос задачи применим критерий U Вилкоксона – Манна – Уитни.
Формулировка гипотез:
Н0: Время решения задачи в группе с дополнительной мотивацией не ниже, чем в группе без дополнительной мотивации.
Н1: Время решения задачи в группе с дополнительной мотивацией ниже, чем в группе без дополнительной мотивации.
Алгоритм подсчёта критерия U:
1) Расположим исходные данные в виде таблицы в 4 столбца и 19 строк (8+9+1+1). В первом столбце расположены по возрастающей данные первой группы. Во втором – второй группы. Пропуски чисел обозначим символом -.
| Группа с доп. мотивацией X (n1=8) | Группа без доп. мотивации Y (n2=9) | Ранги X R(x) | Ранги Y R(y) |
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | (3) 3, 5 | - | |
| - | (4) 3, 5 | - | |
| - | (5) 5, 5 | - | |
| - | - | (6) 5, 5 | |
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | (9) 10, 5 | - | |
| - | - | (10) 10, 5 | |
| - | - | (11) 10, 5 | |
| - | (12) 10, 5 | - | |
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | - | ||
| - | - | ||
| Суммы рангов | 55, 5 | 97, 5 |
2) В 3-м и 4-м столбцах расставляем ранги. По каждому столбцу в отдельности подсчитывается сумма рангов (55, 5 и 97, 5).
3) Проверка правильности ранжирования:
а) подсчитывается общая сумма рангов: 55, 5+97, 5=153.
б) рассчитывается сумма рангов по формуле:
N(N+1)\ 2=17·18\ 2=153, N=n1+n2.
Расчётные суммы совпали, следовательно, ранжирование проведено верно.
4) Находится большая по величине сумма рангов и обозначается как Rmax. В нашем случае она равна 97, 5.
5) Вычисляется по формуле Uэмп= (n1 
n2) + nx(nx+1)\2 - Rmax,
где n1 – объём первой выборки,
n2 - объём второй выборки,
Rmax – наибольшая по величине сумма рангов,
nx – количество испытуемых в выборке с большей суммой рангов.
|
|
|
В нашем случае Uэмп= (8 9) + (9 10)/2 – 97, 5 = 19, 5
6) По Таблице 3 приложения для n1=8 и n2=9находим критические значения:
Uкр = 18 (для Р≤ 0, 05) и Uкр = 11 (для Р≤ 0, 01)
7) Строим ось значимости, наносим критические и эмпирическое значения критерия. В нашем случае Uэмп = 19, 5 попало в зону незначимости.
| 0, 05 0, 01 |
| 19, 5 18 11 |
| Зона незначимости |
8) Делаем вывод. Принимается гипотеза H0 о сходстве, а гипотеза H1 о наличии различий отклоняется. Психолог может утверждать, что дополнительная мотивация не приводит к статистически значимому увеличению эффективности решения технической задачи.
|
|
|
