Ответ: 7. Ответ: 200 тысяч. 7 тип: Задачи, связанные с дифференцированными платежами. − с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

Ответ: 7

Задача №3.

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке в размере S тыс. рублей, где S -  натуральное число, на 3 года. Условия его возврата таковы:

− каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

− с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

− в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Месяц и год	Июль 2016	Июль 2017	Июль 2018	Июль 2019
Долг (в тыс. рублей)	S	0, 7S	0, 4S

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет составлять целое число тысяч рублей.

Решение:

S– сумма кредита

r% - годовые (ежемесячные) проценты, r = 15%

р = 1+0, 01r, р = 1, 15

Год	Долг с %	Платеж	Долг после выплаты
			S
	Sр	Sр – 0, 7S	0, 7S
	0, 7Sр	0, 7Sр - 0, 4S	0, 4S
	0, 4Sр	0, 4Sр

 

1 выплата: 1, 15S – 0, 7S = 0, 45S =  =

2 выплата: 0, 7 · 1, 15S – 0, 4S = 0, 805S – 0, 4S = 0, 405S =  =

3 выплата: 0, 4 · 1, 15S = 0, 46S =  =

По условию, все выплаты должны быть целыми. Значит, число S должно делиться на 20, 200 и 50. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 200.

Ответ: 200 тысяч.

7 тип: Задачи, связанные с дифференцированными платежами.

Задача №1.

Алексей взял кредит в банке на срок 12 месяцев. По договору Алексей должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется r% этой суммы и своим ежемесячным платежом Алексей погашает эти добавленные проценты и уменьшает сумму долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц (на практике такая схема называется «схемой с дифференцированными платежами»). Известно, что общая сумма, выплаченная Алексеем банку за весь срок кредитования, оказалась на 13 % больше, чем сумма, взятая им в кредит. Найдите r.

Решение:

S – cумма кредита,

р = 1+0, 01r

r -?

Месяц	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
			S
	Sp	Sp –
		–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p

 

Sp(1 +  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + ) – S(  +  +  +  +  +  +  +  +  +  + ) = 1, 13S

Sp – S = 1, 13S /: S

p –  = 1, 13/ · 12

78p – 66 = 13, 56

78p = 13, 56 + 66/: 78

р = 1, 02

r = 2%

Ответ: 2

Задача 2.

15 января планируется взять кредит в банке на 9 месяцев. Условия его возврата таковы:

− 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

− со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что на пятый месяц кредитования нужно выплатить 57, 5 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

Решение:

S – сумма кредита,

р = 1, 03

r = 3%

n = 9

Сумма всех выплат –?

Месяц	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
			S
	Sp	Sp –
	р	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	–
	p	р

 –  = 57, 5/ · 9

5Sр – 4S = 517, 5

S(5р – 4) = 517, 5

S(5 · 1, 03 – 4) = 517, 5

S = 450

Sp(1 +  +  +  +  +  +  +  + ) – S(  +  +  +  +  +  +  + ) = 5Sр – 4S = S (5р – 4) = 450(5 · 1, 03 – 4) = 450 · 1, 15 = 517, 5

Ответ: 517, 5 тысяч.

Задача 3.

15-го января планируется взять кредит в банке на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:

− 1-го числа каждого месяца долг возврастает на 5% по сравнению с концом предыдущего месяца;

− со 2-го по 14-е число месяца необходимо выплатить часть долга;

− 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

На сколько месяцев можно взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 25% больше суммы, взятой в кредит? (решение с помощью формулы суммы арифметической прогрессии)

Решение:

  S – сумма кредита,

ставкаr = 5 %,

р = 1, 05

n=?

 

Месяц	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
			S
	Sp	Sp –
		-
…
n – 1		-
n

 

(Sp +  + … +  + ) – (  -  - … - ) = 1, 25S

Sp (1 +  + …+  + ) – S (  -  - … - ) = 1, 25S

По формуле суммы арифметической прогрессии получаем

Sp ·  – S ·  = 1, 25S /: S

p ·  –  = 1, 25 / · 2

1, 05 · (n + 1) – (n – 1) = 2, 5

1, 05n + 1, 05 – n + 1 = 2, 5

0, 05n = 0, 45

n = 9

Ответ: 9 месяцев.

 

8 тип: Нестандартные задачи, связанные с кредитом.

 

Задача 1.

В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6, 6 млн. руб. Условия возврата таковы:

− каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.

− с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

− в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6, 6 млн. руб.

− суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12, 6 млн. рублей.

Решение:

S = 6, 6 млн. руб.

р = 1 + 0, 01r

r% =?

 

Год	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
			S
	Sр	Sр – S	S
	Sр	Sр – S	S
	Sр	Sр – S	S
	Sр	x	Sр – х
	(Sр – x)р = Sр2 – xр	x

1) Sр² – xр = x

2) 3(Sр – S) + 2x = 12, 6

19, 8р – 19, 8 + 2x = 12, 6

х = 16, 2 – 9, 9р

1) 6, 6 р² – (16, 2 – 9, 9р)р = 16, 2 – 9, 9р

6, 6 р² – 16, 2р + 9, 9 р²  = 16, 2 – 9, 9р

16, 5 р² – 6, 3р – 16, 2 = 0

165 р² – 63р – 162 = 0

D=632+4•162•165=110889

b1=1, 2

b2= -0, 81не подходит по условию задачи.

Ответ: r=20.

 

Задача №2.

 

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

 

Решение:

 

Сумма кредита (S)-?

 

Ставка (а)=10%, b=1, 1

 

Количество лет (n) 3 года

 

	Год	Долг с %	Выплата	Долг после выплаты
				S
		Sb	x	Sb-x
		(Sb-x)b=Sb2-xb	2x	Sb2-xb-2x
		(Sb2-xb-2x)b=Sb3-xb2-2xb	3х	Полная выплата -
				остаток 0
x+2x+3x=2395800
6x=2395800
x=399300

 

Sb^3_ хb²-2xb =3x

 

Sb³-(3+2b+b²)x=0

 

S=	(3  2b  b2 )x		399300  (3  2, 2  1, 21)		399300  6, 41	 1923000 рублей
	b3		1, 331		1, 331

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: