 |
Ответ: 1923000рублей. Ответ: дифференцированные платежи, выгода 2100 рублей. Ответ:4 года. 3.2 Вклады. Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц
|
|
|
|
Ответ: 1923000рублей.
Задача №3.
Анатолий решил взять кредит в банке 331000 рублей на 3 месяца под 10% в месяц.
Существуют две схемы выплаты кредита.
По первой схеме банк в конце каждого месяца начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Анатолий переводит в банк фиксированную сумму и в результате выплачивает весь долг тремя равными платежами (аннуитетные платежи).
По второй схеме тоже сумма долга в конце каждого месяца увеличивается на 10%,
а затем уменьшается на сумму, уплаченную Анатолием. Суммы, выплачиваемые в конце каждого месяца, подбираются так, чтобы в результате сумма долга каждый месяц уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину (дифференцированные платежи). Какую схему выгоднее выбрать Анатолию? Сколько рублей будет составлять эта выгода?
Решение: Сумма кредита(S)–331000рублей
Ставка (r) -10%, b=1, 1
Аннуитетные платежи.
| Месяц | Долг с % | Платѐ ж | Долг после выплаты | ||||
| S | |||||||
| 1 месяц | Sb | х | Sb-x | ||||
| 2 месяц | b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x | ||||
| 3 месяц | b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2- | х | - | ||||
| xb | |||||||
| Sb3_ хb2-xb=x | |||||||
| Sb3-(b2+b+1)x=0 | |||||||
| x | 331000 *1, 13 | 133100 | |||||
| 1, 12 1, 1 1 | |||||||
3х=399300
Дифференцированные платежи.
| Месяц | Долг с % | Выплата | Долг после выплаты | |||||||||||||||||||
| S
| ||||||||||||||||||||||
|
|
| Sb |
| Sb− | 2S | 2S | ||||||||||||||||
| 2Sb | 2Sb | S | S | |||||||||||||||||||
| 3 − 3 | ||||||||||||||||||||||
| Sb | Sb | |||||||||||||||||||||
Sb(1+23 + 13)-S(23 + 13)=2Sb-S
2*331000*1, 1- 331000=331000*1, 2=397200
399300 – 397200= 2100
Ответ: дифференцированные платежи, выгода 2100 рублей.
Задача №4.
Петр Иванович взял кредит на несколько лет и выплатил его равными ежегодными
платежами по 200000 руб. При этом в начале каждого года сумма текущего долга увеличивалась на 10 %, а в конце года производился платеж. Если бы Петр Иванович не делал платежей, то за это время вследствие начисления процентов сумма кредита составила бы 928200 руб. На сколько лет был взя
т кредит?
Решение:
Кредит (S)
Введѐ м коэффициент b=1+0, 01r
| Год | Долг с % | ||||||||||||||
| Sb | |||||||||||||||
| Sb2 | |||||||||||||||
| Sb3 | |||||||||||||||
| n год
| Sbn | ||||||||||||||
| Sbn | =928200, ставка (r) -10%, b=1, 1 | ||||||||||||||
| х= 200000рублей, аннуитетные платежи. | |||||||||||||||
| Год | Долг с % | Платѐ ж | Долг после выплаты | ||||||||||||
|
| S | ||||||||||||||
|
| Sb | х | Sb-x | ||||||||||||
|
| b(Sb-x)= Sb2-xb | х | Sb2-xb-x | ||||||||||||
|
| b(Sb2-xb-x )=Sb3_ хb2-xb | х | Sb3_ хb2-xb-x | ||||||||||||
| n год | Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb | x | Полная выплата, | ||||||||||||
| долг равен 0 | |||||||||||||||
| Sbn-xbn-1-xbn-2-…-xb2-xb-x=0 | |||||||||||||||
| Sbn-x(bn-1+bn-2 +…+b2+b+1)=0 | |||||||||||||||
| По формуле суммы геометрической прогрессии | |||||||||||||||
| bn-1+bn-2 +…+b2+b+1= | − 1 | ||||||||||||||
| − 1 | |||||||||||||||
| − 1 | |||||||||||||||
| Sbn- x × | =0 | ||||||||||||||
| − 1 | |||||||||||||||
928200- 200000 × 1, 1 − 1 =0
1, 1− 1
2000000× (1, 1 -1)=928200
1, 1 =1+0, 4641, 1, 1 =1, 4641
n=4
Ответ: 4 года.
3. 2 Вклады.
Задача №1.
Владимир поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48, 5%. Какую сумму Владимир ежегодно добавлял к вкладу?
Решение:
S=3600 тысяч – сумма вклада r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10% b=1+0, 01r – коэффициент, b=1, 1 n=3 года, х =? – действие
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после | |
| действия. | ||||
| S | ||||
| 1 год | Sb | +х | Sb+x | |
| 2 год | b(Sb+x)= Sb2+xb | +х | Sb2+xb+x | |
| 3 год | b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb | Снял вклад | ||
|
|
|
Sb3+хb2+xb = 1, 485S
х(b2+b) = 1, 485S - Sb3
х(1, 21+1, 1) = 1, 485S – 1, 331S
2, 31х = 0, 154*3600
2, 31х = 554, 4
х = 240
Ответ: 240000.
Задача №2.
Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая сумма будет на счете у Василия через 4 года? (Решение с помощью формулы суммы геометрической прогрессии)
Решение:
S=1000000 – сумма вклада r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10% b=1+0, 01r – коэффициент, b=1, 1 n=4 года, х =133000 – действие
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после | |||||||||||
| действия. | ||||||||||||||
| S | ||||||||||||||
| 1 год | Sb | +х | Sb+x | |||||||||||
| 2 год | b(Sb+x)= Sb2+xb | +х | Sb2+xb+x | |||||||||||
| 3 год | b(Sb2+xb+x)=Sb3_+хb2+xb | +х | Sb3_+хb2+xb+х | |||||||||||
|
| ||||||||||||||
| 4 год | b(Sb3_+хb2+xb+х)= | Снял вклад | ||||||||||||
| Sb4_+хb3+xb2+хb | ||||||||||||||
| Sb4_+хb3+xb2+хb=Sb4_+хb(b2+b+1)= | ||||||||||||||
| b 4 S xb | (b3 | 1) | 1, 4641 | 1000000 | 1, 1 (1, 331 1) | 1948353 рублей | ||||||||
| b 1 | 1, 1 1 | |||||||||||||
Ответ: 1948353 рублей.
Задача №3.
Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?
|
|
|
Решение:
S=50000 – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0, 01r – коэффициент, b=1, 1
n=3 года, х – действие
Саша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после | |
| действия. | ||||
| S | ||||
| 1 год | Sb | - 0, 1Sb | 0, 9Sb | |
| 2 год | 0, 9Sb*b=0, 9Sb2 | -20000 | 0, 9Sb2- 20000 | |
| 3 год | (0, 9Sb2- 20000)*b = | Снял вклад | ||
| 0, 9Sb3_ 20000b |
0, 9Sb3_ 20000b = 0, 9*50000*1, 331–20000*1, 1 = 59895–22000 = 37895рублей Паша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после |
| действия. | |||
| S | |||
| 1 год | Sb | - 0, 2Sb | 0, 8Sb |
| 2 год | 0, 8Sb*b=0, 9Sb2 | -15000 | 0, 8Sb2- 15000 |
| 3 год | (0, 8Sb2- 15000)*b = | Снял вклад | |
| 0, 8Sb3_ 15000b |
0, 8Sb3_ 15000b = 0, 8*50000*1, 331–15000*1, 1 = 53240–16500 = 36740рублей
37895 – 36740 = 1155 рублей
Ответ: у Саши на 1155 рублей.
Задача №4.
Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?
Решение:
S – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты, r=10%
b=1+0, 01r – коэффициент, b=1, 1
n=3 года, х – действие
Миша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после |
| действия. | |||
| S | |||
| 1 год | Sb | -5000 | Sb - 5000 |
| 2 год | (Sb-5000)*b=Sb2-5000b | +5000 | Sb2-5000b+5000 |
| 3 год | (Sb2-5000b+5000)*b = | Снял вклад | |
| Sb3-5000b2+5000b | |||
Sb3-5000b2+5000b = 1, 331S-5000*1, 21+5000*1, 1=1, 331S-6050+5500=1, 331S-550 Маша
| Год | Вклад с % | Действие | Вклад после |
| действия. | |||
| S | |||
| 1 год | Sb | + 5000 | Sb + 5000 |
| 2 год | (Sb+5000)*b=Sb2+5000b | -5000 | Sb2-5000b-5000 |
| 3 год | (Sb2+5000b-5000)*b = | Сняла вклад | |
| Sb3+5000b2-5000b | |||
Sb3+5000b2-5000b = 1, 331S+5000*1, 21-5000*1, 1=1, 331S+6050-5500=1, 331S+550 Ответ: у Маши на 1100 рублей.
Задача №5.
Гражданка Васильева вложила 44 млрд. рублей в два оффшорных банка на 3 года: часть денег в банк А, остальное в банк Б. Известно, что банк А ежегодно начисляет 10% годовых; банк Б в первый год начисляет 5% годовых, во второй – 10%, а в третий – 15%. Сколько рублей было вложено в каждый из банков, если через три года доход гражданки Васильевой от вложения денег составил 14 520 млн. рублей.
|
|
|
Решение:
S=44000млн – сумма вклада
r% - годовые (ежемесячные) проценты,
b=1+0, 01r – коэффициент,
n=3 года
1 банк
| Год | Проценты | Вклад с | ||||
| процентами | ||||||
| S | ||||||
| 1 год | 10% | 1, 1S | ||||
| 2 год | 10% | 1, 12S=1, 21S | ||||
| 3 год | 10% | 1, 13S=1, 331S | ||||
| 2 банк | ||||||
|
| ||||||
| Год | Проценты | Вклад с процентами | ||||
| 44000-S | ||||||
| 1 год | 5% | 1, 05(44-S) | ||||
| 2 год | 10% | 1, 05*1, 1S=1, 155(44000-S) | ||||
| 3 год | 15% | 1, 05*1, 1*1, 15S=1, 32825(44000-S) | ||||
1, 331S+1, 32825(44000-S)-44000=14520
1, 331S-1, 32825S=14520-58443+44000
0, 00275S=77
S=28000 млн=28 млрд положила в 1 банк
44-28=16 положила во 2 банк
|
|
|
