 |
Ответ: 700 тысяч рублей. Ответ: 1543000 рублей. Ответ: 120кг. Ответ: 700 тысяч рублей. Задача №8.
|
|
|
|
Ответ: 700 тысяч рублей.
| Задача №8. | |||||
| Фѐ дор является владельцем двух заводов в разных городах. | На | заводах | |||
| производятся | абсолютно одинаковые | приборы, | но | на | заводе, |
расположенном в первом городе, используется более совершенное оборудование. В р езультате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся
| суммарно | 3t2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t приборов; если | |||||
| рабочие на заводе, | расположенном | во втором городе, трудятся суммарно 4t2 | ||||
| часов в | неделю, | они | производят | t | приборов. | |
| За каждый час работы (на каждом из заводов) Фѐ дор платит рабочему 1 | тысячу | |||||
руб. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 30 приборов. Какую
| наименьшую | сумму | придется | тратить | владельцу | ||||
| заводов еженедельно на оплату труда рабочих? | ||||||||
| Решение: 30 единиц товара | ||||||||
| Часы в | Единицы | Оплата за | Полная | |||||
| неделю | товара в | 1 час | оплата | |||||
| неделю | ||||||||
| 1 завод | 3x2 | x | 3000x2 | |||||
| 2 завод | 4y2 | y | 4000y2 | |||||
Составим функцию еженедельной оплаты труда:
∑ (x, y) = 3000 2 + 4000 2→ наим
Заметим, что x+y=30, т. е. x= 30 − где y∈ 0; 30 ∑ (y) =3000(30 − )2 + 4000 2→ наим
∑ (y) =3000(900 − 60 + 2) + 4000 2 =7000 2-180000y+2700000 Возьмѐ м производную этой функции
|
|
|
∑ , = 14000y-180000
Найдѐ м нули производной: 14000y-180000=0 y = 907=1267
Функция принимает своѐ наименьшее значение при y=1267 (точка минимума). Пусть y=12, тогда x=18
Найдѐ м еженедельную оплату труда: 3000 × 182+4000 × 122 = 3000× 324+4000× 144 = 972000 + 576000=1548000
Пусть y=13, тогда x=17
Найдѐ м еженедельную оплату труда: 3000 × 172+4000 × 132 = 3000× 289 +4000× 169 = 867000 + 676000=1543000
Ответ: 1543000 рублей.
Задача №9.
В двух областях есть по 160 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за
час добывает 0, 1 кг алюминия или 0, 1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у2 человеко-часов труда.
Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причѐ м 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно за сутки суммарно добыть в двух областях?
Решение:
| 1 область | Количество | Часы в | Количество | Полное |
| рабочих | сутки | за 1 час | количество | |
| алюминий | x | 0, 1 | 0, 5x | |
| никель | y | 0, 1 | 0, 5y |
Из таблицы видно, что в первой области совершенно одинаковые условия добывания алюминия и никеля. Это означает, что в первой области алюминия и никеля будут добывать поровну по 160× 5× 0, 1 = 40 кг. Всего 80 кг.
Во второй области: x2 +y2=160× 5
x2 +y2=800
x=20, y=20. Всего 40 кг.
Ответ: 120кг.
Задача №10.
В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 60 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 260 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 2 кг никеля.
|
|
|
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?
Решение: 60 человек по 5 часов в день
| 1 область | Количество | Часы в | Количество | Полное | |
| рабочих | сутки | за 1 час | количество | ||
| алюминий | x | 10x | |||
| никель | 60-x | 15(60-x) | |||
| 260 человек по 5 часов в день | |||||
| 2 область | Количество | Часы в | Количество | Полное | |
| рабочих | сутки | за 1 час | количество | ||
| алюминий | y | 15y | |||
| никель | 260-y | 10(260-y) | |||
Получаем, что всего алюминия производят 10x+15y
никеля: 15(60-x)+ 10(260-y)=3500-15x-10y
Так как для сплава необходимо, чтобы на2 кг алюминия приходился 1 кг никеля, то: 10x+15y=2(3500-15x-10y)
10x+15y=7000-30x-20y
40x=7000-35y
x = 7000− 35 = 1400− 7
Составим функцию массы сплава:
∑ (x, y) = 10x+15y +3500-15x-10y → наиб
∑ (x, y) = 3500-5x+5y → наиб
∑ (y) = 3500-5 × 1400− 7 +5y → наиб
∑ (y) = 3500-5 × 1400− 7 +5y → наиб
21000+75
∑ (y) = → наиб
Возьмѐ м производную этой функции
∑ , =758> 0,
Значит функция возрастает во всей области определения, т. е. принимает своѐ наибольшее значение при наибольшем значении y.
Так как x = 1400− 7 ≥ 0, то 1400-7y≥ 0, y≤ 200.
Проверим значение у=200, тогда x=0.
Масса сплава: 3500-5× 0 +5× 200=4500
Ответ: 4500 кг.
Задача №11.
Фабрика, производящая пищевые полуфабрикаты, выпускает блинчики со следующими видами начинки: ягодная и творожная. В данной ниже таблице приведены себестоимость и отпускная цена, а также производственные возможности фабрики по каждому виду продукта при полной загрузке всех мощностей только данным видом продукта.
|
|
|
| Вид начинки | Себестоимость | Отпускная цена | Производственные |
| (за 1 тонну) | (за 1 тонну) | возможности | |
| ягоды | 70 тыс. руб. | 100 тыс. руб. | 90 (тонн в мес. ) |
| творог | 100 тыс. руб. | 135 тыс. руб. | 75 (тонн в мес. ) |
Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции каждого вида должно быть выпущено не менее 15 тонн. Предполагая, что вся продукция фабрики находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль, которую может получить фабрика от производства блинчиков за 1 месяц
Решение
Пусть x тонн выпускает фабрика блинчиков с ягодами, а y тонн – с творогом. Тогда по условию имеем: x≥ 15, ≥ 15.
Составим функцию прибыли:
∑ (x, y) = 30x+35y→ наиб
Пусть производственная возможность равна 1, тогда 90 + 75 = 1
75x + 90y = 6750
x = 90 – 1, 2y
∑ (y) = 30(90 – 1, 2y)+35y→ наиб
∑ (y) = 2700 - y→ наиб
Возьмѐ м производную этой функции
∑ , =− 1< 0,
Значит функция убывает во всей области определения, т. е. принимает своѐ наибольшее значение при y=15. Тогда x = 90-1, 2× 15 = 72.
При этом максимальная прибыль будет 30 × 72 + 35 × 15 = 2685000 рублей.
|
|
|
