Уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости
Рассмотрим установившееся течение идеальной жидкости, находящейся под действием лишь одной массовой силы – силы тяжести, и выведем для этого случая основное уравнение, связывающее между собой давление в жидкости и скорость ее движения.
Пусть площадь первого сечения равна dS1, скорость в нем Рис.4.1 Применим к массе жидкости в объеме участка струйки теорему механики об изменении кинетической энергии суть, которой в том, что работа сил, приложенных к телу, равна приращению кинетической энергии этого тела. Такими силами в данном случае являются силы давления, действующие нормально к поверхности рассматриваемого участка струйки, и сила тяжести. Найдем работу сил давления, силы тяжести и изменение кинетической энергии участка струйки за время dt. Работа силы давления в первом сечении положительна, т.к. направление силы совпадает с направлением перемещения, и выражается как произведение силы Р1dS1 на путь P1dS1 Работа силы давления во втором сечении имеет знак минус и определяется выражением - -p2dS2 Силы давления, действующие на боковую поверхность струйки, работы не производят, т.к. они нормальны к этой поверхности, а, следовательно, нормальны к перемещениям. Тогда работа сил давления будет P1 Работа силы тяжести равна изменению потенциальной энергии положения участка струйки, поэтому надо из энергии положения жидкости в объеме 1 – 2 вычесть энергию положения жидкости в объеме
Тогда работа силы тяжести выразится как произведение разности высот на силу тяжести dG:
Чтобы подсчитать приращение кинетической энергии рассматриваемого участка струйки за время dt, необходимо из кинетической энергии объема Таким образом, приращение кинетической энергии равно
Сложив работу сил давления (4.1) с работой силы тяжести (4.3) и приравняв эту сумму приращению кинетической энергии (4.4), получим
Разделив обе части уравнения на dG, и произведя сокращения, получим
или
где z – геометрическая высота, или геометрический напор;
Уравнение (4.5) называется уравнением Бернулли для элементарной струйки идеальной несжимаемой жидкости. Трехчлен вида
Уравнение (4.5) записано для двух произвольно взятых сечений и выражает равенство полных напоров Н в этих сечениях. Следовательно, и для любого другого сечения этой же струйки полный напор будет иметь то же значение
Итак, для идеальной движущейся жидкости сумма трех напоров (высот); геометрического, пьезометрического и скоростного есть величина постоянная вдоль струйки.
Для горизонтального участка струйки из уравнения Бернулли и уравнения расхода следует, что если площадь поперечного сечения струйки уменьшается, т.е. струйка сужается, то скорость течения жидкости увеличивается, а давление уменьшается, и наоборот.
Рис.4.2. Изменение пьезометрического и скоростного напоров вдоль струйки идеальной жидкости. Штриховой линией показана пьезометрическая кривая при увеличении расхода в Это была геометрическая интерпретация уравнения Бернулли. А теперь рассмотрим энергетический смысл уравнения Бернулли. Разделим уравнение (4.4’) на массу dm участка, равную
Условимся называть удельной энергией жидкости энергию, отнесенную к единице массы. Члены уравнения (4.6) являются различными формами удельной механической энергии жидкости, а именно: gz – удельная энергия положения, т.к. частица жидкости массой
Таким образом, энергетический смысл уравнения Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости заключается в постоянстве вдоль струйки полной удельной энергии жидкости. Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения механической энергии в идеальной жидкости.
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|