 |
Основные дифференциальные соотношения теории изгиба
|
|
|
|
Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой 
(рис. 6.12, а).
Рис. 6.12
Выделим из бруса элемент длиной 
и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 6.12, б). В пределах малого отрезка нагрузку 
можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, проходящей через точку С (рис. 6.12, б), получим:
;
.
Производя упрощения и отбрасывая величины высшего порядка малости, получим теорему Журавского (теорему Шведлера):
откуда
Указанные дифференциальные зависимости при изгибе позволяют установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.
1. Эпюра Q является прямолинейной на всех участках. На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси эпюры, а эпюра М, в общем случае, – наклонными прямыми (рис. 6.13).
2. На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичными параболами (рис. 6.14). При построении эпюры М на сжатых волокнах, выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки (рис. 6.15, а, б).
Рис.6.13
Рис.6.14
3. В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна оси эпюры (рис. 6.14, 6.15). Изгибающий момент в таких сечениях балки экстремален по величине (М max, M min).
4. На участках, где Q >0, M возрастает, то есть слева на право положительные ординаты эпюры M монотонно увеличиваются, отрицательные – монотонно уменьшаются (рис. 6.13, 6.14); на тех участках, где Q < 0, M убывает (рис. 6.13, 6.14).
5. В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:
|
|
|
а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил (рис. 6.13, 6.14).
б) на эпюре M будут переломы (рис. 6.13, 6.14), острие перелома направлено против действия силы.
6. В тех, сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q никаких изменений не будет (рис. 6.16).
Рис.6.15
Рис.6.16
7. Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (сечения C и B на рис. 6.16).
8. Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры M. Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре M (рис. 6.14).
9. Порядок линии на эпюре Q всегда на единицу меньше, чем на эпюре M. Например, если эпюра M - квадратная парабола, то эпюра Q на этом участке - наклонная прямая; если эпюра M - наклонная прямая, то эпюра Q на этом участке - прямая, параллельная оси; если M =const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Q =0.
Примеры построения эпюр внутренних силовых факторов для консольных балок
При построении эпюр 
и 
в консольных, или жестко защемленных, балках нет необходимости вычислять опорные реакции, возникающие в жесткой заделке, но выбирать отсеченную часть нужно так, чтобы заделка в нее не попадала.
Пример 1.
Рассмотрим балку длиной l защемленную одним концом и находящуюся под действием сосредоточенной силы Р (рис.6.17). Пусть для определенности Р= 4 кН, l = 2 м.
Рис.6.17
Определим внутренние силовые факторы, возникающие в балке. Воспользуемся методом сечением.
Рассечем балку поперечным сечением в произвольном месте.
Отбросим правую часть.
Заменим ее действие внутренними усилиями N - вдоль оси z, - вдоль оси y и моментом – в плоскости осей yz вокруг оси х. На рис.6.17 в соответствии с принятым правилом знаков показаны положительные направления внутренних силовых факторов.
|
|
|
Уравновесим отсеченную часть. Запишем уравнения статического равновесия, получим
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.
Из первого уравнения видно, что нормальная сила N при изгибе равна нулю, далее не будем ее определять.
Построим эпюры поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx вдоль длины балки.
Поперечная сила постоянна по всей длине балки и равна Qy = P = 4 кН. Отложим на графике линию параллельную оси z.
Изгибающий момент Мх изменяется в зависимости от расстояния z. Вычислим его значение в двух точках: в начале z = 0 и в конце балки z = l = 2 м.
z = 0 (Мх = 0);
z = 2 м (Мх = 8 кНм).
Построим по точкам график Мх.
Построение эпюр поперечной силы Qy и изгибающего момента Mx является одним из основных этапов при расчете конструкций на изгиб. По эпюрам Qy и Mx определяется опасное сечение, т.е. сечение в котором может произойти разрушение.
Опасным сечением называется сечение, в котором изгибающий момент достигает наибольшего по модулю значения. 
.
В некоторых случаях опасным сечением может быть также сечение, где наибольшего значения достигает поперечная сила 
. В данном случае опасным является место закрепления балки.
Пример 2.
Построить эпюры и (рис.6.18).
Рис. 6.18
Порядок расчета.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем поперечную силу в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру .
3. Определяем изгибающий момент в каждом характерном сечении.
По вычисленным значениям строим эпюру , причем, на участке под распределенной нагрузкой эпюра будет криволинейной (квадратная парабола). Выпуклость кривой на этом участке всегда обращена навстречу распределенной нагрузке.
Пример 3.
Построить эпюры , (рис.6.19).
В данном случае для правильного построения эпюры необходимо использовать приведенные выше дифференциальные зависимости.
Порядок расчета.
1. Намечаем характерные сечения.
2. Определяем поперечные силы в характерных сечениях.
3. Строим эпюру .
Характер эпюры, то есть тот факт, что эпюра пересекает ось, говорит о том, что в этом сечении момент будет иметь экстремальное значение. Действительно, пересечение эпюры с осью z означает, что в этом сечении 
, а из курса математики известно, что если производная функции равна нулю, то сама функция в данной точке имеет экстремальное значение.
|
|
|
Для определения положения “нулевого” сечения необходимо величину расположенной слева от него ординаты эпюры разделить на интенсивность распределенной нагрузки :
Рис. 6.19
Определяем изгибающие моменты в характерных сечениях.
4. Вычисляем экстремальное значение изгибающего момента в сечении, где 
:
Строим эпюру 
.
|
|
|
