Принципы многомерного сравнения объектов
Рассмотрим два объекта
и
и оценим принципы, которые позволят обоснованно утверждать, что один из них предпочтительнее другого.
Очевидно, что если существует такой объект
, для которого оценка
для любого
больше либо равна соответствующей оценке
объекта
, то тогда, безусловно, можно утверждать, что
предпочтительнее
.
Если же оценки объектов по разным критериям противоречивы, то для осуществления процедуры сравнения таких объектов необходимо все множество критериев
разделить на два подмножества:
– множество критериев, согласно которым
, по крайней мере, не хуже, чем
;
– множество критериев, для которых это утверждение не выполняется.
Показатели соответствия. Очевидно, что чем большее число критериев входит в
, тем более обоснованно принять предположение, что
предпочтительнее
. Кроме того, необходимо учесть различную важность, значимость критериев, определяемую коэффициентами
. Поэтому для оценки степени соответствия различных критериев нашей гипотезе вводится показатель соответствия
, определяемый по формуле (36):
(36)
Этот показатель обладает следующими свойствами:
1. 
2.
, если
.
Показатель соответствия рассчитывается для каждой пары объектов
и
. Результаты таких расчетов могут быть представлены в матрице
, каждый элемент которой
есть показатель соответствия предположению, что объект
предпочтительнее объекта
. Легко видеть, что такая матрица, как правило, не симметрична. Элементы
не имеют смысла в данной задаче, а потому в таблицу не вносятся.
Показатели несоответствия. Для осуществления процедуры сравнения необходимо учесть и критерии, противоречащие введенному предложению, что объект
, по крайней мере, не хуже объекта
. С этой целью рассчитывается так называемый показатель несоответствия
. Для его получения необходимо:
а) вычислить разности между оценками объектов
и
для
и упорядочить полученные отклонения в невозрастающую последовательность;
б) определить показатель несоответствия
как s-ый член построенной последовательности, нормированный по высоте самой большой шкалы.
Нормирование осуществляется с целью учета относительной значимости принимаемых во внимание критериев, так как высота шкалы (разность между высшей и низшей оценками) является неубывающей функцией коэффициента значимости критерия
.
Очевидно, что такое определение показателя несоответствия, например, для
, эквивалентно исключению из рассмотрения критерия с самым большим несоответствием, для
– исключению двух критериев c наибольшими несоответствиями и т.д., как бы ни было велико это несоответствие.
Значения показателей несоответствия для всех пар (
) могут быть представлены в таблице
.
Сформулируем принцип сравнения объектов по нескольким критериям.
Фиксируем значение параметра
, затем задаем два числа:
(порог соответствия) и
(порог несоответствия) и говорим, что согласно
критериям и порогам
и
объект
предпочтительнее объекта
, если и только если пара (
) приводит к показателю соответствия
и показателю несоответствия
.
Предпочтение, определенное таким образом, удобно представлять в виде графа:
,
где
– множество вершин графа, соответствующее множеству рассматриваемых объектов;
– множество дуг графа, дуга
и
. Очевидно, что чем меньше требования к значениям
и
, тем более соответствующий граф богат дугами. Однако сравнение и выбор, проводимые на основе очень слабых требований к
и
, могут не отражать реальную ситуацию выбора. Поэтому необходимо последовательно и постепенно ослаблять требования к параметрам
и анализировать возникающие связи.
Таким образом, для каждой тройки (
) мы можем построить
, при этом множество вершин графа
может быть разделено на два непересекающиеся подмножества
и
. Подмножество
таково, что всякий элемент, не включенный в
, будет превзойден, по крайней мере, одним элементом, принадлежащим
. Это свойство называется свойством внешней стабильности подмножества
. Другое свойство этого множества
– свойство внутренней стабильности означает, что никакой элемент
не превосходит другого элемента
, т.е. элементы
несравнимы между собой при заданных
. Подмножество вершин графа, которое обладает этими двумя свойствами, носит название ядра графа. Можно доказать, что граф, не имеющий циклов, имеет ядро, причем единственное.
Естественно предположить, что наличие цикла в графе указывает на эквивалентность объектов, составляющих этот цикл.
Таким образом, всегда можно выделить ядро
графа
. Подмножество
может иметь различное число элементов. Если для заданных параметров
ядро включает очень много элементов – это означает, что антагонизм критериев таков, что не позволяет осуществить достаточное сравнение объектов при этих параметрах. Уменьшение требовательности к порогам
и
сократит число элементов
и, наоборот, усиление требований к ним влечет за собой обогащение
.
Таким образом, в результате исследования поведения графов и их ядер, в зависимости от изменения параметров
, можно предложить ответственному за решение небольшое подмножество объектов-кандидатов, рассматривая которые он может осуществить выбор, так как самый хороший объект, наверняка, находится в нем. Выбор среди элементов
может быть осуществлен на основании дополнительных критериев, экспериментов, расчетов, проведение которых для всех объектов
может быть по каким-то причинам нерациональным – слишком дорого, слишком долго и т.д. Таким обрезом, метод позволяет формализовать выбор одного объекта среди многих.
Кроме того, исследование поведения графов и их ядер с изменением
и
позволяет установить некоторую классификацию, упорядочивая объекты множества
в последовательность, благодаря которой каждый объект может быть сравним с другим по своей позиции в этой последовательности. Исследование таблиц
и
поможет определить, какие из сравниваемых объектов являются «близкими», можно выделить из них почти эквивалентные, образующие циклы и т.п.
Воспользуйтесь поиском по сайту: