 |
2.1. Связь между криволинейными интегралами
|
|
|
|
2. 1. Связь между криволинейными интегралами
первого и второго рода.
Пусть криволинейный интеграл второго рода по пространственной кривой АВ имеет вид:
P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz
Рассмотрим вектор-функцию
F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k
как трёхмерный вектор с компонентами P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z), а также вектор dr=dx∙ i+dy∙ j+dz∙ k. Тогда комбинация, стоящая под знаком интеграла, есть не что иное, как скалярное произведение векторов 
(x, y, z) и 
, т. е.
P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz = ( 
(x, y, z) 
), и поэтому
P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = ( 
(x, y, z), 
).
Обозначим через α, β и γ углы, которые вектор 
образует с осями OX, OY и OZ. Заметим, что длина вектора 
:
= 
=ds
есть не что иное, как дифференциал длины дуги кривой. Поэтому
dx=ds∙ cosα, dy=ds∙ cosβ, dz=ds∙ cosγ
и мы можем записать
Pdx+Qdy+Rdz= (Pcosα +Qcosβ +Rcosγ )ds (2. 2)
Заметим, что слева стоит криволинейный интеграл второго рода, а справа – криволинейный интеграл первого рода. Эта формула даёт связь между криволинейными интегралами первого и второго рода.
2. 2. Свойства криволинейных интегралов второго рода.
1. Постоянный множитель выносится за знак криволинейного интеграла
k P(x, y, z)dx=k P(x, y, z)dx
Свойства криволинейных интегралов второго рода будем рассматривать на одной из составляющих криволинейного интеграла.
2. Криволинейный интеграл от суммы функции равен сумме интегралов
(P1(x, y, z)+P2(x, y, z))dx= P1(x, y, z)dx+ P2(x, y, z)dx
3. Если кривая AB разбивается точкой С на две части, то
Pdx= 
Pdx + 
Pdx
4. Криволинейный интеграл второго рода по замкнутой кривой (циркуляция) не зависит от выбора начальной точки, а зависит только от направления обхода данной кривой.
|
|
|
5. Если AB – кривая, лежащая в плоскости, перпендикулярной оси OX, то
P(x, y, z)dx=0,
Если дуга AB принадлежит плоскости, перпендикулярной оси OY, то
Q(x, y, z)dy=0,
если дуга AB лежит в плоскости, перпендикулярной оси OZ, то
R(x, y, z)dz=0
2. 3. Физический и механический смысл криволинейного интеграла второго рода.
Физически функция F(x, y, z) ассоциируется с силовым полем, если в каждой точке пространства на материальною точку действует сила F(x, y, z). Примером такого поля может служить гравитационное поле, электрическое поле, магнитное поле и т. д. Физически скалярное произведение (F(x, y, z), dr)=dA имеет смысл работы, которое силовое поле F(x, y, z) совершает, перемещая материальную точку по вектору dr. Поэтому, с точки зрения физики, криволинейный интеграл второго рода
A= ( 
(x, y, z), 
) (2. 3)
есть работа, которую совершает силовое поле 
(x, y, z), перемещая материальную точку по кривой AB.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода.
Пусть кривая AB задана параметрическими уравнениями x=X(t), y=Y(t), z=Z(t), где 
тогда P(x, y, z)dx+Q(x, y, z)dy+R(x, y, z)dz= 
[P(t)∙ 
+Q(t)∙ 
+R(t) 
]dt (2. 4)
Пример: вычислить работу векторного поля силы 
при движении материальной точки вдоль дуги L винтовой линии:
x=Rcost; y=Rsint; z= 
от 
dx=-Rsint dt; dy=Rcost dt; dz= 
=
= 
Вычислим первый интеграл, используя формулу «интегрирования по частям»:
Вычислим второй интеграл:
Третий интеграл в заданных пределах будет равен нулю.
Тогда 
Пример: вычислить работу силового поля 
вдоль отрезка AB, соединяющего точки A(2; 3; 4) и B(3; 4; 5).
Находим каноническое уравнение прямой AB:
Переходим к параметрическому уравнению прямой линии АВ:
,
следовательно, х=t+2; y=t+3; z=t+4, где параметр tA 
t 
tB, т. е. 0 t 1, тогда dx=dy=dz=dt и
Пример: вычислите работу силового поля 
вдоль параболы y=x2 от точки (0; 0) до точки (1; 1).
|
|
|
т. к. y=x2, то dy=2xdx
Пример: вычислите работу силового поля 
вдоль контура треугольника ABC, если вершины треугольника имеют координаты: А(1; 0; 0); B(0; 1; 0); C(0; 0; 1).
Т. к. треугольник ограничен тремя разными прямыми линиями, то работа будет равна сумме работ, совершаемых вдоль отрезков, т. е. А=A1+A2+A3, где А1 – работа, вдоль прямой AB; А2 – работа вдоль ВС; А3 – работа вдоль CA. Вычислим работу вдоль линии AB. Находим канонические и параметрические уравнения всех трех прямых. Найдем каноническое уравнение прямой АВ и соответствующее ему параметрическое уравнение:
; 
т. е. x=-t+1; y=t; z=0; dx=-dt; dy=dt; dz=0
Вычислим работу вдоль линии BC. Найдем каноническое уравнение прямой линии ВС и соответствующее параметрическое уравнение прямой:
= 
= 
; 
= 
= 
=t,
тогда x=0; y=-t+1; z=t; dx=0; dy=-dt; dz=dt
Вычислим работу вдоль прямой СА. Найдем каноническое уравнение прямой СА и соответствующее параметрическое уравнение:
; 
тогда х=t; y=0; z=-t+1; dx=dt; dy=0; dz = -dt
|
|
|
