 |
3.1.3. Метод проектирования на одну координатную плоскость.
|
|
|
|
3. 1. 3. Метод проектирования на одну координатную плоскость.
Если поверхность S задана уравнением 
, где 
(x, y), 
(x, y)- непрерывны в замкнутой области, Dxy- проекция поверхности S на плоскость XOY и функции P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)- непрерывны на S, то имеет место формула:
Данная формула выражает поверхностный интеграл второго рода по верхней стороне поверхности S через двойной интеграл по проекции поверхности S на плоскость XOY.
Пример: найти поток векторного поля 
через внешнюю часть поверхности 
Поверхность представляет собой параболоид, обрезанный на высоте 
, поверхность не замкнутая, проектируется на плоскость XOY в круг радиуса 
Рис. 3. 9 Рис. 3. 8
Т. к. проекция на плоскость XOY – круг, то при вычислении двойного интеграла переходим к полярной системе координат.
Пример: вычислить поверхностный интеграл второго рода по внешней части конуса
, 
, если 
, 
- уравнение верхней части кругового конуса при 
.
Для вычисления поверхностного интеграла воспользуемся формулой (3. 5)
Т. к. конус проектируется на плоскость ХOY кругом радиуса 
, 
, запишем двойной интеграл в полярной системе координат
.
Учитывая, что нормаль к нижней стороне поверхности составляет тупой угол по отношению к оси OZ , в окончательном ответе должен быть поставлен знак минус, т. е.
3. 1. 4. Вычисление поверхностных интегралов второго
рода с помощью теоремы Остроградского-Гаусса.
Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между поверхностным интегралом второго рода по замкнутой поверхности и тройным интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью.
|
|
|
Теорема. Если функции 
- непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в пространственной замкнутой области V, то имеет место формула: 
(3. 6)
где 
- заданное векторное поле.
- дивергенция векторного поля 
S - замкнутая поверхность, ограничивающая объем V.
Как уже указывалось выше, дивергенция может быть вычислена через скалярное произведение символического вектора 
(набла - оператор Гамильтона) и вектора поля. Понятие дивергенции (или расходимости векторного поля) дает некоторую количественную характеристику векторному полю в каждой его точке.
(3. 7)
Это формула трактует дивергенцию векторного поля 
в точке M, как объемную плотность потока вектора в данной точке.
Пример: найти поток векторного поля 
через поверхность S: 
, 
Поверхность представляет собой замкнутый при z = 0 и z = 1 цилиндр
рис. 3. 10
Т. к. поверхность замкнутая, то воспользуемся формулой Остроградского-Гаусса:
(при вычислении тройного интеграла используем цилиндрическую систему координат):
Пример: найти поток векторного поля
через внешнюю часть конуса 
, 
, ограниченного сверху плоскостью 
. Поверхность замкнутая. Вычислим дивергенцию векторного поля:
рис. 3. 11
Следовательно, 
, а т. к. по свойствам тройного интеграла, если подынтегральная функция равна единице, то тройной интеграл равен объему заданного тела V, а объем конуса
|
|
|
Следовательно, поток векторного поля 
Если в векторном поле дивергенция равна нулю, то такое поле называется соленоидальным. В соленоидальном векторном поле поток через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если в точке М(x, y, z) векторного поля 
(М) 
(M)> 0, то такая точка называется источником векторного поля, если (M)< 0, то точка называется стоком векторного поля.
Пример: вычислить поток векторного поля
,
где S - замкнутая поверхность: 
Нормаль внешняя.
Поверхность S представляет собой цилиндрическую поверхность с образующей, параллельной оси OZ; в сечении окружность с центром в начале координат, радиуса R = 1. Цилиндрическая поверхность ограничена плоскостью Z = 0 и наклонной плоскостью 
.
рис. 3. 12 рис. 3. 13
Вычислим дивергенцию
Тогда, 
Вычислим тройной интеграл в цилиндрической системе координат:
Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность S в направлении внешней нормали, если
S: 
Поверхность является замкнутой сферой радиуса R = 2, с центром в точке (1; 0; 0), т. к. 
Дивергенция векторного поля (М):
Тогда, поверхностный интеграл второго рода, вычисленный по формуле Остроградского-Гаусса примет вид:
т. к. по свойствам тройного интеграла 
- объему тела, а тело представляет собой сферу, объем которой равен 
.
Пример: вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность, нормаль внешняя,
если 
Поверхность S представляет собой пересечение параболоида с конусом: 
- параболоид,
- конус ( 
)
Строим проекции поверхности на вертикальную и горизонтальную плоскости.
- верхняя часть конуса.
рис. 3. 14 рис. 3. 15
Находим радиус окружности, по которой пересекаются две поверхности вращения:
, но 
, т. е. 
или 
, т. к. 
то 
, следовательно 
.
Тогда 
и
Вычисляем тройной интеграл в цилиндрической системе координат.
(Уравнение конуса в цилиндрической системе координат 
; уравнение параболоида 
, т. к. 
в цилиндрической системе координат).
|
|
|
|
|
|
