 |
2.5. Применение производной в геометрии
|
|
|
|
2. 5. Применение производной в геометрии
Производная функции 
в некоторой точке 
численно равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке 
.
Касательной к графику функции , дифференцируемой в точке х0, называется прямая, проходящая через точку 
и имеющая угловой коэффициент
. (2. 22)
Пример 2. 18. Найти уравнение касательной к графику функции 
в точке с абсциссой 2.
Решение. По условию х0 = 2. Поэтому 
. Таким образом, нужно построить касательную к графику данной функции в точке 
. Графиком данной функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат и симметричная относительно начала координат. Найдем угловой коэффициент касательной в точке с абсциссой 2, т. е. значение производной в этой точке:
|
Следовательно, касательная – это прямая, проходящая через точку 
и имеющая угловой коэффициент 
, то есть прямая 
. Построим эту прямую по двум точкам с координатами 
и
Таким образом, касательная к заданной параболе проходит через две точки: 
и 
, причем в точке N касается графика кубической параболы 
.
Пример 2. 19. Найдите угол наклона касательной к параболе 
в точках 
.
Решение.
а) 
б) 
в) 
Пример 2. 20. Определите углы, под которыми синусоида и тангенсоида пересекают ось абсцисс.
Решение.
Пример 2. 21. Под каким углом синусоида пересекает прямую 
Решение. 
- абсцисса точки пересечения синусоиды и прямой.
Координаты точки пересечения 
.
Определим углы наклона касательных с графиком функций в названных точках.
- тангенс угла наклона синусоиды к оси x. Поскольку прямая параллельна этой оси, то 
является тангенсом угла между этой прямой и синусоидой. Таким образом, 
.
|
|
|
Пример 2. 22. Докажите, что гиперболы 
и 
пересекаются под прямым углом.
Решение.
1) Определим координаты точки пересечения гипербол.
Из первого уравнения: 
Из второго уравнения 
Таким образом, получим: 
.
Таким образом, ордината точки пересечения гипербол равна 2. Определим углы наклона к оси x касательных к каждой из гипербол в указанной точке.
- первая гипербола 
.
- вторая гипербола 
.
Получили: 
, что является признаком перпендикулярности касательных, а, значит, и гипербол.
Пример 2. 23. Определите угол, под которым пересекаются линии
и 
Решение.
1) Ордината точки пересечения: 
2) Углы наклона касательных к оси x:
- для линии .
- для линии 
Угол между двумя прямыми определяется формулой: 
;
; 
Пример 2. 24. Составьте уравнения касательных к линии 
в точках ее пересечения с гиперболой 
Решение
1) Точки пересечения линий
2) Угол наклона к оси x касательной к кривой в точке 
:
Уравнение касательной 
Угол наклона к оси x касательной к кривой в точке 
:
Пример 2. 25. Составьте уравнения прямых, проходящих через точку 
и касающихся линии 
.
Решение. Точка M(2; -1) не является точкой касания, так как 
.
Уравнение касательной, проходящей через точку с абсциссой 
, имеет следующий вид: 
.
Определим значение 
.
Касательная проходит через точку M (2; -1), следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению касательной.
Пример 2. 26. Составьте уравнение касательной к линии 
, проходящей через точку 
.
Решение. Точка A(2; -1) является точкой касания, так как 
.
Уравнение касательной имеет следующий вид:
Таким образом, имеем: 
Пример 2. 27. Составить уравнение касательной и нормали, проведенных к кривой 
в точке, абсцисса которой равна 2.
Решение. Найдем ординату точки касания: 
. Точка касания 
. Уравнение касательной 
; уравнение нормали 
, где 
- координаты точки касания; k - угловой коэффициент касательной: 
|
|
|
Уравнение искомой касательной: 
или 
Уравнение нормали: 
или 
.
2. 6. Механический смысл производной.
Если закон прямолинейного движения точки задан уравнением 
, где s - путь; t - время, то мгновенная скорость движения v в момент t определяется равенствами
,
т. е. скорость точки при прямолинейном движении в момент времени t есть производная от пути s по времени.
Ускорение точки при прямолинейном движении в момент времени t есть производная от пути v по времени или вторая производная от пути s по времени.
Пример 2. 28. Точка движется прямолинейно по закону 
. Найти скорость и ускорение в момент 
,
|
|
|
