 |
3.5. Приложения определенного интеграла в механике
|
|
|
|
3. 5. Приложения определенного интеграла в механике
Путь, пройденный телом при неравномерном движении за время 
, вычисляется по формуле:
. (3. 18)
Пример 3. 18. Скорость движения материальной точки задана уравнением 
. Определить ее путь за четвертую секунду.
Решение. 
.
Ответ 83 м.
Пример 3. 19. Скорость движения тела задана уравнением 
м/с. Определить путь, пройденный телом от начала движения до остановки.
Решение Скорость движения тела равна пулю в моменты начала его движения и остановки. Найдем момент остановки тела, для чего приравняем скорость нулю и решим уравнение относительно t:
- пределы интегрирования.
Ответ. S = 32 m.
Работа А, произведенная переменной силой 
при перемещении тела oт 
до 
, вычисляется по формуле:
(3. 19),
где 
- в ньютонах (Н); 
- в метрах (м); 
- в джоулях (Дж).
Пример 3. 20. Сила в 8Н. растягивает пружину на 6см. Какую работу она производит?
Решение.
Согласно закону Гука 
, где 
- величина растяжения, 
- коэффициент пропорциональности.
Дж.
Ответ: 
Дж.
Формула вычисления силы 
давления жидкости на пластинку, погруженную в жидкость:
, (3. 20)
где а - глубина, на которой находится самая верхняя точка пластинки; b - глубина, на которой находится самая нижняя ее точка; х - расстояние точек пластинки до уровня жидкости; 
- плотность жидкости, 
, 
- функция, зависящая от формы пластинки;
Пример 3. 21. Треугольная пластинка с основанием 0, 2 м и высотой 0, 4 м погружена вертикально в воду так, что вершина ее лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (см. рис. ). Вычислить силу давления воды па пластинку.
Решение. На глубине х выделим горизонтальную полоску шириной dx. Вычислим площадь полоски 
. Из подобия треугольника ABC и DEC имеем:
|
|
|
, откуда 
.
Тогда 
Ответ: 
Приложение 1. ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ
| Вариант | Номера задач | Вариант | Номера задач |
| 7, 26, 69, 82, 101 | 1, 35, 55, 76, 110 | ||
| 14, 29, 54, 89, 104 | 2, 29, 54, 77, 104 | ||
| 20, 33, 59, 95, 108 | 3, 26, 51, 78, 101 | ||
| 9, 43, 67, 1, 118 | 4, 30, 56, 79, 105 | ||
| 12, 37, 65, 87, 112 | 11, 31, 52, 86, 106 | ||
| 10, 30, 58, 85, 105 | 9, 33, 74, 84, 108 | ||
| 19, 39, 68, 94, 114 | 7, 34, 53, 82, 109 | ||
| 11, 34, 60, 86, 109 | 8, 27, 57, 83, 102 | ||
| 15, 28, 64, 90, 103 | 5, 35, 58, 80, 110 | ||
| 2, 27, 53, 77, 102 | 23, 48, 73, 98, 123 | ||
| 4, 41, 52, 79, 116 | 25, 49, 72, 100, 124 | ||
| 18, 47, 51, 93, 122 | 6, 43, 67, 81, 118 | ||
| 5, 45, 66, 80, 120 | 10, 47, 71, 85, 122 | ||
| 21, 49, 62, 96, 124 | 12, 28, 53, 87, 103 | ||
| 25, 35, 61, 100, 110 | 24, 30, 56, 99, 105 | ||
| 17, 40, 56, 92, 115 | 22, 32, 57, 97, 107 | ||
| 8, 50, 63, 83, 125 | 13, 38, 63, 88, 113 | ||
| 23, 44, 71, 98, 119 | 23, 37, 64, 98, 112 | ||
| 1, 31, 55, 76, 106 | 14, 39, 65, 89, 114 | ||
| 6, 42, 70, 81, 117 | 22, 41, 66, 97, 116 | ||
| 3, 46, 74, 78, 121 | 21, 43, 68, 96, 118 | ||
| 22, 48, 73, 97, 123 | 15, 44, 67, 90, 119 | ||
| 13, 38, 75, 88, 113 | 20, 42, 69, 95, 117 | ||
| 24, 36, 72, 99, 111 | 19, 45, 70, 94, 120 | ||
| 16, 32, 57, 91, 107 | 18, 46, 71, 93, 121 | ||
| 4, 34, 68, 79, 109 | 7, 48, 69, 82, 123 | ||
| 2, 39, 58, 77, 114 | 1, 39, 54, 76, 114 | ||
| 15, 35, 65, 90, 110 | 3, 26, 68, 78, 101 | ||
| 11, 37, 67, 86, 112 | 24, 34, 70, 99, 109 | ||
| 19, 43, 59, 94, 118 | 2, 40, 55, 77, 115 | ||
| 10, 33, 54, 85, 108 | 21, 31, 51, 96, 106 | ||
| 7, 43, 65, 82, 118 | 11, 35, 65, 86, 110 | ||
| 14, 34, 64, 89, 109 | 17, 44, 59, 92, 119 | ||
| 1, 38, 72, 76, 113 | 5, 50, 75, 80, 125 | ||
| 6, 36, 57, 81, 111 | 23, 38, 58, 98, 113 | ||
| 23, 46, 74, 98, 121 | 12, 28, 53, 87, 103 | ||
| 16, 29, 75, 91, 104 | 8, 40, 63, 83, 115 | ||
| 24, 29, 59, 99, 104 | 10, 42, 52, 85, 117 | ||
| 21, 47, 53, 96, 122 | 6, 39, 53, 81, 114 | ||
| 18, 28, 60, 93, 103 | 16, 32, 57, 81, 107 | ||
| 3, 31, 63, 78, 106 | 13, 45, 60, 88, 120 | ||
| 5, 41, 51, 80, 116 | 14, 26, 56, 89, 101 | ||
| 8, 44, 70, 83, 119 | 22, 37, 62, 97, 112 | ||
| 9, 39, 74, 84, 114 | 4, 43, 61, 79, 118 | ||
| 12, 32, 75, 87, 107 | 18, 37, 56, 93, 112 | ||
| 1, 26, 51, 76, 101 | 20, 36, 67, 95, 111 | ||
| 5, 30, 55, 80, 105 | 15, 27, 66, 90, 102 | ||
| 4, 29, 54, 79, 104 | 9, 50, 71, 84, 125 | ||
| 8, 33, 63, 83, 108 | 19, 49, 58, 94, 124 | ||
| 25, 50, 75, 100, 125 | 25, 34, 74, 100, 109 |
|
|
|
Приложение 2. КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ
1-25. Выполнить действия. Результат представить в тригонометрической и показательной формах [5]:
1. 
| 2. 
| 3. 
|
4. 
| 5. 
| 6. 
|
7. 
| 8. 
| 9. 
|
10. 
| 11. 
| 12. 
|
13. 
| 14. 
| 15. 
|
16. 
| 17. 
| 18. 
|
19. 
| 20. 
| 21. 
|
22. 
| 23. 
| 24. 
|
25. 
|
26-50. Найти производные функций [5]:
26.  . Найти 
| 27. 
|
28.  . Найти 
| 29. 
|
30.  . Найти 
| 31. 
|
32. 
| 33. 
|
34. 
| 35. 
|
36.  . Найти 
| 37. 
|
38. 
| 39. 
|
40.  . Найти 
| 41. 
|
42.  . Найти 
| 43. 
|
44. 
| 45. 
|
46.  Найти 
| 47.  . Найти 
|
48. 
| 49. 
|
50. 
|
51-75. Решить задачи с использованием методов дифференцирования [5].
51. Написать равнение касательной к параболе 
в точке, где 
.
52. Определить ускорение точки в момент времени 
, если скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением 
.
53. Тело движется прямолинейно по закону 
. Найти его скорость и ускорение, как функцию времени 
.
54. Написать равнения касательной и нормали к кривой 
в точке 
.
55. Материальная точка движется прямолинейно согласно уравнению 
. Найти скорость и ускорение в конце второй секунды (путь в метрах).
56. Материальная точка движется прямолинейно согласно уравнению 
. Найти момент времени 
, когда скорость и ускорение тела равны нулю.
57. Материальная точка массы 
движется прямолинейно согласно уравнению 
. Найти силу 
, действующую на эту точку, в момент времени 
.
58. Написать равнения касательной и нормали к параболе 
в точке 
.
59. Найти, под какими углами парабола 
пересекает ось 
.
60. На параболе 
найти точку 
, в которой касательная к ней параллельна прямой 
.
61. Построить график функции 
.
62. Разбить число 24 на два слагаемых, произведение которых будет наибольшим.
63. Построить график функции 
.
64. Разбить число 6 на два слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.
65. Из куска проволоки длиной 5см. согнуть прямоугольник наибольшей площади.
66. Построить график функции 
.
67. Найти максимум и минимум функции 
.
68. Тело движется по закону 
. Найти его максимальную скорость.
69. Построить график функции 
.
70. Из всех прямоугольников, вписанных в равнобедренный треугольник с основанием 10 см. и высотой 6 см. найти прямоугольник, имеющий наибольшую площадь.
|
|
|
71. Построить график функции 
.
72. Исследовать на максимум и минимум функцию 
.
73. Разделить число 48 на две части, чтобы их произведение было наибольшим.
74. Исследовать на максимум и минимум функцию 
.
75. Найти дифференциал функции 
76-100. Найти интегралы [5]
| № | а) | б) | в) |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
|
101-125. Решить задачи с использованием определенных интегралов [5].
101. Найти площадь фигуры, ограниченной параболой 
и осью 
.
102. Найти площадь фигуры, ограниченной гиперболой 
и прямой 
.
103. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 
фигуры, ограниченной линиями 
.
104. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
105. Сила 
растягивает пружину на 
. Определить работу, затраченную на растяжение пружины до 
, если первоначальная длина пружины равна 
106. Определить давление воды на плотину, имеющую форму трапеции, верхнее основание которой равно 6, 4 м., нижнее 4. 2 м., а высота 3 м., если вода доходит до верха плотины.
107. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси линии, 
в пределах от 
до 
.
108. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
и 
.
109. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси 
площади, ограниченной линиями, 
и 
.
110. Два тела начали двигаться в один и тот же момент из одной точки в одном направлении по прямой. Одно тело двигалось со скоростью 
, другое – со скоростью 
. На каком расстоянии они будут друг от друга через 5 с.?
111. При сжатии пружины на 0, 05 м. затрачивается работа 30 Дж. Какую работу надо совершить, чтобы сжать пружину на 0, 08 м.?
112. Треугольная пластина с основанием 0, 2 м. и высотой 0, 4 м. погружена вертикально в воду так, что ее вершина лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей. Вычислить силу давления воды на пластину.
|
|
|
113. Скорость движения точки задана уравнением 
Найдите путь, пройденный телом от начала движения до его остановки.
114. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями; 
.
115. Пружина растягивается на 0, 02 м. под действием силы 60 Н. Какую работу она производит, растягивая пружину на 0, 12 м.?
116. Треугольная пластинка с основанием 0, 4 м. и высотой 0, 6 м. погружена вертикально в воду вертикально, так, что ее основание лежит на поверхности воды. Вычислить силу давления воды на пластинку.
117. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси площади, ограниченной линиями, 
и 
.
118. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
119. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
120. Для сжатия пружины на 0, 05 м. затрачивается работа 10 Дж. На какую длину можно сжать пружину, совершив работу в 100 Дж?
121. Вычислить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму равнобедренной трапеции, верхнее основание которой, совпадающее с уровнем воды, равно 4, 5 м., нижнее основание равно 3м., высота стенки составляет 3м.
122. Вычислить объем тела, образованного, вращением одной полуволны синусоиды 
вокруг оси 
.
123. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
124. Вычислить объем тела, образованного вращением кривой 
вокруг оси в пределах от 
до 
.
125. Прямоугольная пластинка с основанием 8 см. и высотой 10 см. погружена вертикально в воду, так, что ее верхнее основание находится на 2 см. ниже поверхности воды. Вычислить силу давления воды на пластинку.
|
|
|
