Лекция 3. Слушатель: Двигалась.

1111 = 1

8 8 8 2’

 

––I–‑ –I–‑ –I–‑ –I–‑ –I–‑ –I–‑ –I–– = –

16 16 16 16 16 16 16 2’

и так далее. Значит, на бесконечность тем более ускачет и первый кузнечик!

Но самое неожиданное я приберег на конец. (Берёт в руки мяч и держит его над полом. ) Уроним этот мяч и послушаем, сколько раз он ударится.

Слушатель: Бесконечность.

А. С.: Правильно. Бесконечность, но она будет «преодолена» за конечный промежуток времени. Законы физики это подтвер­дят. Единственное, что, к сожалению, в атомных размерах законы физики меняются (надо применять квантовую механику), и эта идиллия прекращается. Но если бы ньютоновская механика была верна до самого конца, то любой мяч, если его отпускают, за ко­нечное время делал бы бесконечное число подскоков. То есть он устроен, как задача с яблоком. Потому что каждый следующий подскок, по законам физики, составляет по высоте некоторый про­цент от предыдущего. Но процент от любой положительной вели­чины – это положительная величина. Поэтому каждый следую­щий подскок – это тоже положительная величина, а значит, их будет бесконечное количество. Но они суммируются по времени. Время подскоков суммируется, а сумма стремится к некоторому числу. Временные промежутки будут всё короче и короче и, грубо говоря, за 2 секунды мяч уже бесконечное число раз подпрыгнет и ляжет на землю тихо. За конечное время бесконечное количество прыжков...

До встречи на лекции 3!

 

Лекция 3

А. С.: В прошлый раз я успел поговорить про бесконечность. Умение работать с бесконечностью, умение через бесконечность пе­решагивать, умение различать разные бесконечности – это основ­ная работа в математике. Как могут быть разные бесконечности? Кажется, что либо что‑ то конечное, либо бесконечное. Но нет. На самом деле бесконечности бывают разные. На прошлой лек­ции мы говорили про сходящиеся и расходящиеся ряды. То есть рассматривали суммы с бесконечным количеством слагаемых.

Например, сумма 1+2 + ^ + ^ + ‑ ‑ ‑, как выяснилось, стремится к бесконечности. То есть становится больше любого наперёд задан­ного числа. Скажите ей: «Будь больше 1000». Тогда нужно взять много слагаемых.

Возьмем 2²⁰⁰⁰ членов. Оказывается, тогда их сумма будет боль­ше 1000. Скажете: «Будь больше 1000000». Тогда нужно взять 22000000 _член0в. Их сумма будет больше миллиона. И так далее.

А вот этот ряд: 1 + ^ + _т + ^‑ +... тоже состоит из бесконечного z 4 о

числа членов, но его сумма никогда не станет больше, чем двойка.

Теперь еще одна интересная задача. Начнем издалека. В 2000 году, где‑ то зимой, мы были в лесу в районе станции Радищево, праздновали чей‑ то день рождения. Вокруг было очень мало сухих деревьев, все спилили до нас. Было только огромное, совершен­но сухое дерево. И это дерево огромного размера стояло и очень нас заманивало. У нас была двуручная пила, и мы начали пи­лить. Пилили‑ пилили, пилили‑ пилили и допилили. Дерево сдела­ло «тцук... » и село на нашу пилу. Пила осталась внутри, а пол­ностью спиленное дерево стоит и падать не собирается (рис. 52).

Но стоит подуть ветру, и оно упадет. В какую сторону оно упадет – совершенно не предсказуемо. Что делать? Надо или вставать и уходить, написав со всех сторон «внимание, внимание, до ближайшего ветра сюда не подходить», или пытаться уронить дерево. Мы решили с ним побороться. Взяли вспомогательное де‑

 

рево и прислонили ого к спиленному где‑ то на высоте десяти ме­тров. Навалились, и оно поддалось (рис. 53).

 

Было видно, как дерево начало падать. Но скорость была чу­довищно медленная: несколько сантиметров в секунду, едва‑ едва. Где‑ то минуту мы ждали, пока оно медленно наклонялось, и толь­ко потом оно начало ускоряться и через несколько мгновений рух­нуло со страшным грохотом. Пришел я домой и написал уравнение падения дерева. В физике траекторию движения системы под дей­ствием сил можно выписать в виде уравнений. Такие уравнения называются дифференциальными,. Это означает, что скорость из­менения скорости, то есть то, что называется ускорением, зависит от сил, которые действуют на тело. Это один из основных зако­нов физики, он позволяет свести всё, что есть в обычной, не кван­товой, механике, к системам уравнений. Можно выписать такое уравнение и для нашего дерева. И к своему удовольствию, иссле­довав это уравнение, я пришел к выводу, что, если дать дереву толчок очень маленькой силы, оно начинает падать очень, очень, очень медленно.

Я начинаю рассуждать, что дерево это просто вертикальная палка, без толщины. Она стоит совершенно вертикально, но обла­дает массой. Массивная вертикальная палка. Кто‑ то толкает ее сверху. Ударит человек палка падает (скажем) 1 минуту. Про­летит голубь, заденет будет падать 10 минут. Начальная ско­рость верхней точки будет, скажем, 1 мм/с. И очень долго скорость почти не будет меняться. А если врежется муха, то палка будет падать час. Уравнение выдает удивительный результат: на самом деле нет никакой границы на время падения дерева, вообще ника­кой.

Рассмотрим похожую задачу. Есть вагончик, в котором на шар­нире установлена тонкая железная вертикальная палка. Чуть‑ чуть вправо или влево она падает, так же, как и рассмотренное выше дерево.

 

Теперь представьте обратную задачу. Вы берете уже упавшую или под некоторым углом висящую палку. После чего придаете ей некоторый импульс толкаете ее снизу вверх (рис. 55).

Какие возможны варианты? Во‑ первых, толчок может быть слишком слабый. Что произойдет с палкой? Поднялась и упала обратно. Теперь, допустим, подошел какой‑ нибудь бугай. Бабах

 

по этой палке. Она р‑ раз и перелетела на другую сторону. Под­ходит кто‑ то немножко более сильный, чем я. но слабее, чем бугай, Толкает палку, а она всё равно падает.

Вы качались на качелях‑ перевертышах? Мое детство отчасти проходило в городе Мценске. И в парке там была такая закрыва­ющаяся изнутри кабинка с противовесом наверху, которую раска­чиваешь. раскачиваешь, раскачиваешь, и она «переворачивается»; противовес оказывается внизу, а кабинка сверху (но благодаря сво­бодному подвесу кабинка при этом вверх ногами не переворачива­ется). Я замечал, что наверху она долго движется с более‑ менее постоянной скоростью. Мы знаем, что с постоянной скоростью дви­жутся тела, на которые не действуют силы. На кабинку силы, ко­нечно, действуют, но вертикально вниз. В момент, когда кабинка проезжает верхушку, сила перпендикулярна линии движения, по­этому скорость почти не меняется. И если аккуратно выверить цвижение, то кабинка практически остановится наверху.

Вернемся к нашей палке и нарисуем график. По горизонтальной оси сила удара, по вертикальной результат (рис. 56).

Если вы ударили слишком слабо, то результат будет палка упадет обратно. Если очень сильно ударить, то результат палка перевернется на другую сторону. И есть ровно одно вещественное число, одна сила удара, которую нужно придать палке, чтобы она остановилась вертикально. Вопрос. Сколько нужно времени в иде­альном мире, в котором нет воздуха, трения и так далее, чтобы палка заняла вертикальное положение?

Слушатель: Смотря под каким углом было изначально.

упало сила удара

 

Рис. 56. Построение графика ступенчатого вида («отклик на удар»).

А. С.: Нот. От того, под каким углом была изначально пал­ка. зависит только то. с какой силой нам надо толкнуть палку. А времени понадобится бесконечный промежуток. Строгая мате­матическая бесконечность. То есть, если палке придать такую си­лу. которая в точности достаточна для того, чтобы она достигла положения вертикального равновесия, то время, за которое пал­ка будет достигать этого положения, равно плюс бесконечности. В условиях задачи, когда мы говорим об идеальной математике, мы. естественно, не учитываем, что вокруг меняются обстоятель­ства. В идеальной ситуации время равно бесконечности. Я посчи­тал всё это в 2000 году, потом рассказал физикам, а они сказа­ли. что это очевидно, и всё они это давно знали. Наверное, кому‑ нибудь не хочется верить, что потребуется бесконечное количество времени. Я дам еще одно подтверждение. Давайте вернемся к те­лежке. Пусть это будет вагон, внутри которого находится наша палка на шарнире. Вагон едет по маршруту Москва Петербург. И мне сообщили, с точностью до 100% (так. как у математиков бывает, а в жизни нет) информацию о скорости, с которой вагон будет двигаться (рис. 57).

Утверждение. Существует такое положение палки, такой угол, в котором я могу ее выпустить из рук в начальный момент вре­мени. что она не упадет в течение всей дороги. Существует такой угол альфа, что. если я придам железке на шарнире этот угол, то она всю дорогу будет болтаться туда‑ сюда, но никогда не упадет.

 

Обоснование этого факта изложено ниже.

Эта задача разобрана в книге, которую я всем рекомендую: Р. Курант. Г. Роббинс. «Что такое математика? ». Еще раз отмечу, что мне в этой задаче известен точный график движения поезда.

Ключ к решению этой задачи в использовании идеи непре­рывности,. Мы один раз уже с ней столкнулись в предыдущей за­даче: есть такой импульс, получив который, палка не упадет ни направо, ни налево. Она встанет вертикально, но через бесконеч­ное время. Задача про вагон, в котором движется железный стер­жень на шарнире, напрямую относится к предыдущей. Давайте посмотрим. Если палка уже лежит, то она будет всегда лежать. Она никогда никуда не встанет. А теперь рассмотрим для каждо­го начального угла поворота этой палки, в какое положение она в конечном счете ляжет: направо или налево. А если она останется висеть, значит, мы нашли то. что нам нужно.

Если палка ляжет, то она ляжет в одно из этих двух положений. Причем уравнения движения таковы, что если чуть‑ чуть поменять угол, совсем чуть‑ чуть, сторона падения не изменится. Если пал­ка падала направо, то чуть‑ чуть изменив угол, вы не измените

результата. Она всё равно упадет направо. Тем самым, если в од­ном положении она падала, скажем, направо, значит, и в близ­ких начальных положениях она тоже должна падать направо. То есть, как говорят математики, множество положений, в которых она упадет направо – открытое множество. «Открытое» – зна­чит, вместе с какой‑ то точкой содержит все близкие к ней точки. Если из какого‑ то положения палка падает, то из всех достаточно близких положений она упадет в ту же сторону.

Интуитивно понятно, что мы можем всегда приподнять палку настолько мало, что она непременно упадет обратно. Давайте ме­дленно изменять положение палки. В каких‑ то положениях она будет падать направо, а в каких‑ то – налево. Значит, где‑ то есть переход, угол, такой, что всюду справа она падает направо, всюду слева – налево12. Что же это за угол? Единственный факт, кото­рый мы можем сообщить про этот угол, это что для такого угла палка не упадет вообще. Ничего другого про него не известно. Па­радоксально, но это факт! Если вы в это поверили (а я вас не обма­нываю), тогда в том, что в близком к вертикальному положению палка может находиться сколь угодно долго, вас убедит следую­щее соображение. На стоянке в Бологом поезд может стоять 10 минут, а может – час. И в течение этого часа палка не упала. Она ведь не падала всю дорогу, в частности, она не упала и в течение стоянки. Что же она делала в это время?

 

Слушатель: Двигалась.

А. С.: Она находилась очень близко к вертикальному положе­нию. Потому что, если бы она чуть‑ чуть от него отклонилась, она рухнула бы. Поэтому во время стоянки она была очень близко к вертикальному положению. А так как стоянка может быть сколь угодно долгой, из этого следует, что палка в районе вертикального положения может находиться сколь угодно долго. Поэтому‑ то она будет подниматься в него бесконечное время.

Это – наше второе знакомство с бесконечностью. Сейчас будет третье.

Слушатель: Гвоздь программы.

А. С.: Бесконечность – это гвоздь программы, безусловно. По­тому что бесконечность – это центральное понятие в математике. Математика – это шаг через бесконечность. Освоение математи­ки – это когда вы становитесь с бесконечностью «на ты». И чем больше вы «на ты» с бесконечностью, тем лучше вы понимаете математику. Это – наука о бесконечности. В этом смысле мате­матика и религия дополняют друг друга. Религия – это знание

о бесконечности, математика – это наука о бесконечности. Это две ипостаси бытия.

Сейчас мы поговорим о бесконечности в некотором другом раз­резе, геометрическом.

Помните ли вы, что такое квадратный корень? Корень квадрат­ный из 100 – это 10. Потому что 10 х 10 = 100. А вот что такое корень квадратный из двух – это не так понятно. А что такое рациональное число? Если вы не знаете, не страшно. Но что та­кое целое число, знают все. Целые числа – это ноль, один, два, три, четыре, пять, шесть и так далее в положительную сторону, но также минус один, минус два, минус три, минус четыре и так да­лее – в отрицательную. У древних была большая проблема с от­рицательными числами. Число, бесконечность, уравнение – это всё то, с чем математики всё время имеют дело. Что такое число? Для древних число – это то, чем мы считаем предметы. Более того, до сих пор натуральными числами часто называют числа, используемые для подсчета предметов. Ноль – это для древних уже было что‑ то странное. Число или не число? Натуральное ли оно? Ноль – это отсутствие предметов. Отсутствие – это количе­ство или нет? Сколько крокодилов в нашей комнате?

 

⇐ Предыдущая11121314151617181920Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: