Слушатель: Ноль. Слушатель: Да. Действительно, у нас и трехлетние дети знают, что такое ^5 и – 3. Нулевая температура. А может. 1. 2. 3, –1, –2, –3. градусов. Но между ними тоже что‑то есть.

Слушатель: Ноль.

А. С.: Значит, вы считаете, что ноль все‑ таки натуральное чи­сло13. А отрицательных чисел у древних греков не было. Вот если бы математика началась в России, то проблем с этим не было бы.

Потому что –1, –10 это мороз, снег идет. Всё понятно на ули­це отрицательная температура.

Когда я учился в школе, к нам как‑ то приехали американ­цы. И они сказали, что уровни умственного развития школьников в России и в Америке различаются как небо и земля14. На что я за­метил, что всё очень просто. В Америке редко бывают отрицатель­ные температуры, и поэтому у школьников есть проблема с пости­жением отрицательных чисел. Американец сильно задумался (тем более, что у нас градусы Цельсия, а у них Фаренгейта! ).

Действительно, у нас и трехлетние дети знают, что такое ^5 и – 3. Это когда снег, и мама на голову шапку надевает.

 

Это вот ваш градусник (рис. 58).

Нулевая температура. А может. 1. 2. 3, –1, –2, –3... градусов. Но между ними тоже что‑ то есть.

 

Слушатель: Да.

А. С.: Я же могу сказать, что сейчас два с половиной градуса выше нуля?

 

Слушатель: Да.

А. С.: Или три и три четверти градуса.

 

Слушатель: Да.

А. С.: То есть я могу назвать доли. Их сейчас даже в детсаду рассматривают.

Пришло ко мне на день рождения 15 детей. И, допустим, у меня

есть 23 яблока. Я взял нож и аккуратно разрезал яблоки на 15

равных частей каждое. Каждому ребенку достанется ^ яблока, то есть по 23 дольки.

Это – число между единицей и двойкой:

1 § 2.

Такие числа древние отлично знали. Мы их называем рациональ­ными, а они их называли дробями или просто числами. Рацио­нальное число – это число, которое может выражать количество яблок, разделенное на количество детей. Пришло вот к вам «п», целое ненулевое число детей, а у вас имеется «т» – целое число яблок. Получаем рациональное число Числитель дроби может быть меньше нуля.

Ну, скажем, у вас было ^5 яблок, и пришло 7 детей. Каждый получил яблок.

Слушатель: Бедные дети...

А. С.: Или вы позвали 30 гостей на день рождения и сказали: «У меня ^700 тысяч рублей, в смысле, я должен за квартиру 700 ты­сяч рублей. Скиньтесь, пожалуйста, поровну». Вот вам и минус: –. Когда вы говорите о таких вещах, как долги, то сразу выле­зают отрицательные числа. Я предлагаю вам понять, что все эти

 

к

числа живут где‑ то на числовой прямой. Число ^ живет где‑ то ме­жду нулем и единицей (рис. 59). Давайте начнем шагать по оси

шагами в одну сотую. Мы, на наш взгляд, целиком замостим нашу 211 135 прямую: ТОО ^{И Т}'^Д'

И замостить вы можете сколь угодно плотно, можно ведь ша‑

1 1

гать шагами, равными или. Где бы вы ни сидели

–I 1 1 1 lllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllllll 1–

 

‑ 3‑ 2‑ 1 О 1 2 3 4

Puc. 59. Шаги‑ то получились меньше, чем точка от мелка!

па числовой оси, где‑ то рядом с вами, очень близко живет число тп

вида –.

Математики употребляют в такой ситуации страшный термин «всюду плотное множество». Это такое множество, в котором, куда бы вы ни сунулись, в любой близости от вас будут точки этого множества. Рациональные числа образуют всюду плотное множество на числовой оси. Вроде как вся прямая ими заполнена. Вполне можно было бы ожидать, что никаких чисел больше нет. Это логично, но это неправда. Древние обнаружили, что есть чи‑

 

ТП

ела, заведомо не представимые в виде ни при каких целых m и п (врезка 5).

Врезка 5. «Причина смерти – корень из двух! »15

Говорят, что пифагорейцы (ученики знаменитого философа и математика Пифагора) сначала верили, что для вычислений вполне хватает положительных рациональных чисел, и что в этом проявляется божественная гармония окружающего мира. Однако «не в меру способный» ученик Пифагора додумался до того, что строго доказал НЕИЗМЕРИМОСТЬ диагонали квадрата (с еди­ничной стороной) с помощью рациональных чисел. Пифагорейцы в гробовом молчании выслушали его доказательство и не смогли его опровергнуть. Гармония мира оказалась под угрозой! Поэтому было принято решение: никому про это не рассказывать, а наруши­теля мировой гармонии наказали... утоплением в реке, на берегу которой всё это и происходило. К счастью для математики, истина потом всё равно «воссияла».

Вот я и утверждаю, что корень из двух именно такое чи­сло. Возьмем 4 квадрата со стороной единичка. И составим из них новый квадрат (рис. 60).

 

Какой площади один маленький квадратик?

Слушатель: 1.

Какой площади будет получившаяся фигура?

Слушатель: 4.

А. С.: Теперь я делаю следующее. Я провожу диагонали (см. рис. 61) и спрашиваю вас. чему равна площадь получившегося вну­три квадрата?

 

Слушатель: 2.

А. С.: Почему? Потому что в каждом маленьком квадратике ровно половину взяли, а половину не взяли. Итак, совершенно очевидно, что площадь этой фигуры вдвое меньше, чем у боль­шого квадрата. С другой стороны, мы знаем, что если у квадрата сторона а, то площадь его равна а · а = а ² .

Нам нужно найти сторону квадрата с площадью 2. А это и есть корень из двух. Значит, если у квадрата сторона 1, то его диагональ имеет длину «корень из двух» (рис. 62).

 

Рис. 62. Сторона внутреннего квадрата равна корню из двух по двум причинам: алгебраическая причина теорема Пифагора и определе­ние корня; геометрическая причина соотношение площадей наружного и внутреннего квадратов равно двум.

А. С.: Из школьного курса вы знаете теорему Пифагора.

 

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: