Другой слушатель: Вы схалтурили.

Другой слушатель: Вы схалтурили.

А. С.: Где?

Слушатель: Расстояние между Хибинами и Мурманском. Вы считаете по прямой. А на самом деле надо считать длину дуги.

А. С.: Да. Разница будет примерно одна сотая процента. Она почти равна нулю.

Слушатель: А при Джомолунгме?

А. С.: Будет примерно 10 или 15 метров18. Давайте еще что‑ нибудь пощупаем. Джомолунгма, какая высота?

Слушатель: 8848 метров.

А. С.: Да. 8848. Округлим до 9 километров.

h = 9, L = 300.

Заметьте, что вершина Джомолунгмы – это то, на какой высоте летит самолет, поэтому с самолета вы видите примерно на 300­350 километров. Если лететь из Петербурга в Москву, то, чи­сто теоретически, пролетая Бологое, можно увидеть и Москву, и Санкт‑ Петербург, правда, для этого самолет должен развернуть­ся. Но если кто‑ то говорит, что он видел Ташкент, летя из Москвы в Питер, он вас обманывает.

Когда вы летите па «гагаринской высоте», на высоте 100 км, со­ответственно, вы видите на 1000 километров. С 40‑ метровой вышки видно на 20 километров. Что, конечно, довольно много.

А вышка в 10 метров даст обзор на 10 километров во все сто­роны. Вышка уменьшилась в 4 раза, а обзор в 2. Если увеличить вышку в 9 раз, обзор увеличится в 3 раза. Обратите внимание, не линейная зависимость, а корневая.

 

Переходим к Алисе.

Это пример того, как не работает наша интуиция. Вот она иногда работает, а иногда... Сейчас я вам расскажу чисто физи­ческую вещь. Итак, давайте сделаем следующее.

 

гибнет. Шахта ровная, проходит всю Землю насквозь. Земля не раска­ленная внутри, а саму Алису можно считать материальной точкой массы 40 кг. Ее уже ждут на той стороне американские ребята! А от ее массы в этой задаче вообще ничего не зависит.

Что происходит? Алиса падает (рис. 91). У нее меняется ско­рость. С какой скоростью меняется ее скорость? То есть какое у Алисы ускорение? Оно в первые моменты равно ускорению сво­бодного падения д; оно. грубо говоря, такое: д и 10 м/с² (точнее. 9, 81).

То есть за одну секунду полета падающий человек увеличивает скорость на 10 м/с каждую секунду.

Слушатель: А у нее юбки парусят, это никак не влияет?

А. С.: Влияет. Поэтому пусть не парусят.

Слушатель: В вакууме...

А. С.: Да. это вакуумная Алиса. Потому что если есть сопроти­вление воздуха, то на некоторой скорости прекращается всякий рост скорости (например, для парашютиста, падающего без па­рашюта. скорость быстро стабилизируется на значении примерно 50 м/с). Вот. Поэтому пусть у нашей Алисы не парусят. И вооб­ще. .. она ведь бросилась в шахту вниз головой, чтобы удобнее было вылетать из нее на другой стороне Земли.

 

Рис. 92. А если отважная Алиса летит не сквозь Землю, а сквозь Юпи­тер? У него радиус в 11. 2 раза больше земного. II она уже пролетела до глубины в 2. 2 земных радиуса. Тогда всю массу Юпитера можно по­делить на две части: внутренний шар радиуса 9 (земных радиусов) и на­ружный шаровой слой толщины в 2. 2 (земных радиуса). Точный мате­матический подсчет показывает, что суммарная сила, с которой шаро­вой слой притягивает к себе летящую Алису (да вы мне всё равно ведь не поверите!.. ) РАВНА НУЛЮ. А внутренний шар. через который Алисе осталось пролететь, притягивает ее к себе так же. как притягивала бы её к себе точка, равная массе этого шара и находящаяся в центре шара.

Но есть одна важная физическая тонкость. Проблема в том. что когда вы начинаете падать в такого рода «колодец», у вас д на­чинает меняться. Ускорение свободного падения тем меньше, чем ближе вы к центру. В центре ваша скорость не меняется вообще, ибо там силы тяготения в сумме дают нулевой вектор. Есть такой физический закон, который утверждает, что ускорение свободно­го падения пропорционально расстоянию до центра планеты, если

плотность планеты постоянна. (То есть если осталось пролететь долю «ж» от поверхности до центра, то ускорение свободного па­дения будет равно дх. При х = 1 будет просто д, при х = 0, 1 будет

д/  ю. )

Пояснение и лирическое отступление «о футболе на Лу­не». Например, радиус Юпитера в 11, 2 раза больше радиуса Земли (рис. 92). Ускорение свободного падения на Юпитере в 2, 52 раза больше, чем на Земле (оно, кроме радиуса, зависит и от массы пла­неты). Радиус же Луны меньше радиуса Земли в 3, 67 раза, и на ней в 6, 05 раза меньше ускорение свободного падения. Я представил себе лунный футбол, это, должно быть, совершенно замечательно. Огромные ворота высотой 12 метров и шириной 40 метров, и в них медленно летающий вратарь. Но бьют‑ то по мячу с той же силой. Должно быть, очень занятно. Я не знаю, может быть, в будущем когда‑ нибудь будет лунный футбол.

У нас ускорение получается такое: а = –дх, и надо пояснить, что означает знак «минус».

Сначала попытаемся понять, какое движение совершала бы Алиса в шахте, просверленной по диаметру земного шара, если бы в центре Земли никакой гномик не толкал бы ее в спину для уве­личения скорости. Она полетела бы «вниз» (ощущение у нее было бы такое же, как у человека, упавшего в колодец). До момента до­стижения центра Земли скорость всё время нарастала бы (в этой задаче считается, что сопротивление воздуха отсутствует); мак­симальная скорость будет при пролете через центр Земли (в этой точке Алиса будет лететь по инерции, так как сила тяготения обра­тится в нуль). Затем начнет проявлять себя сила тяжести, напра­вленная против движения. Она будет постепенно нарастать, всё сильнее уменьшая скорость полета Алисы. Ее скорость станет ну­левой как раз в тот момент, когда Алиса пролетит всю Землю на­сквозь. Теперь сила тяжести направлена в противоположную сто­рону. И затем всё будет повторяться. Такое движение называется «колебательным». Чтобы оно могло возникнуть, тело должно ис­пытывать действие так называемой возвращающей силы. Эта сила всегда направлена в сторону положения равновесия (в этой задаче точкой равновесия является центр Земли). При расчетах именно центр Земли удобно выбрать за начало координат, а ось иксов на­править вдоль шахты от начала шахты (место вылета) к ее концу на другом краю Земли. Именно при таких условиях и была напи­сана формула а = –дх.

В этой формуле 0 х 1 (доля пути, оставшаяся до поло­жения равновесия). Но обычно в теории колебаний этой буквой обозначают отклонение от положения равновесия (то есть от ну­ля). В этом случае появление знака «минус» становится понят­ным: возвращающая сила противоположна направлению отклоне­ния, и она тем больше, чем больше отклонилась точка от центра. Она похожа по своему действию на заботливого пастуха: чем боль­ше овца отклонилась от лужайки с травой, тем сильнее он гонит ее обратно. Скорость изменения какой‑ нибудь физической величины «х» обозначается в учебниках физики точкой вверху ж; а ускоре­ние (то есть «скорость изменения скорости») – двумя точками х. При расчете любого движения точки вдоль прямой (в том чи­сле и колебательного) математики заимствуют из физики второй закон Ньютона: «сила равна массе, умноженной на ускорение». Если «х» означает (как в нашей задаче про Алису) отклонение от начала координат, то уравнение движения материальной точки имеет вид

тх = /(ж),

где т – масса точки, /(ж) – закон изменения силы, управляющей движением точки, при изменении ее положения «ж». Простейшее колебательное движение («гармоническое колебание») получается при

/(ж) = –кх

(линейная возвращающая сила). В этом случае закон движения ж(t) (где t – время, прошедшее с момента начала движения) вы­ражается суммой синуса и косинуса с некоторыми коэффициен­тами (отражающими информацию о начальном отклонении точки от центра и о начальной скорости движения точки). То, что физи­ки называют скоростью, математики называют первой производ­ной. А то, что физики называют ускорением, математики называ­ют второй производной. Математики имеют в своем «арсенале» большой запас математических методов для решения различных уравнений движения. В частности, самое простое колебание опи­сывается с помощью изменения значений косинуса (или синуса).

Если ускорение точки, движущейся вправо, отрицательное, зна­чит, она тормозит, уменьшая свою скорость. Может быть такое, что при неизменном ускорении точка достигнет нулевой скорости и за­тем, остановившись на мгновение, будет двигаться в отрицатель­ном направлении. Аналогичная ситуация может быть при движе­нии точки влево и воздействии на нее положительного ускорения.

Слушатель: А «ж» в каких единицах измеряется?

А. С.: Вопрос о единицах очень важный и правомерный. Мож­но измерять ж в метрах, можно в километрах. В нашем случае х – доля радиуса – безразмерная величина. Решением уравне­ния, описывающего полет Алисы от падения в шахту и до дости­жения центра Земли, на самом деле служит обычный косинус.

Однако следует иметь в виду, что бывают задачи и с другими единицами измерения переменной «ж».

Например, если «ж» означает запас бензина в баке автомоби­ля (он изменяется с течением времени), то единицей измерения будет литр, а скорость расхода бензина будет тогда измеряться в литр/час. Но математики всё равно называли бы скорость рас­хода бензина «первой производной».

Вначале координата будет меняться медленно, потом Алиса бу­дет набирать всё большую и большую скорость, ускорение же будет уменьшаться. Алиса сначала долетит до центра, а потом и до по­верхности Земли с другой стороны (рис. 93), преодолевая нараста­ющую силу тяжести («возвращающую силу»), потом опять поле­тит обратно, и так до бесконечности.

Так вот. Спрашивается, какая скорость в центре Земли? Ско­рость в центре Земли очень серьезная. Там много, много метров

 

в секунду. (Вычисления с номощыо косинуса показывают, что эта скорость (независимо от массы тела Алисы) составляет 7910 м/с. ) Что же происходит с энергией в полете то туда, то обратно? Есть такой закон сохранения энергии. Потенциальная энергия пе­реходит в кинетическую, и наоборот. На поверхности Земли есть только потенциальная, в центре только кинетическая. В полете к центру Земли потенциальная энергия постепенно уменьшается, а кинетическая на такую же величину увеличивается.

Пока что мы обсуждаем особенности полета Алисы, не услож­няя его появлением гномика, который толкнул Алису вперед в цен­тре Земли.

 

\пг\  

Кинетическая энергия имеет формулу: Е = ^, где v ско­рость в данный момент.

Гном добавляет 1 м/с. то есть кинетическая энергия Алисы ста‑

^ m(v   + I)² новится: Е = _s.

Это должно компенсироваться тем, что Алиса вылетит вверх на некоторую высоту, чтобы прибавка потенциальной энергии ком­пенсировала убавку дополнительной кинетической энергии.

Потенциальная энергия записывается формулой Е = mgh.

При удалении от поверхности Земли д будет немного меняться по сравнению со значением 9, 81, но не очень сильно.

Давайте посмотрим на разницу этих двух кинетических энер‑

.. mi; ² m(v ²  + 2v + 1) _mw2 in и. Ь = –^ до прибавки в скорости, ^ 2

увеличение энергии после прибавки.

Единицу мы, как водится, игнорируем, она очень маленькая, 2v остается. В итоге разница получается равной mv. Этой разнице и должна быть равна потенциальная энергия в точке максималь­ного подъема Алисы на другой стороне Земли:

 

mv = mgh.

Масса сокращается, то есть масса Алисы здесь никакого отно­шения к делу не имеет. Совсем, казалось бы, не важно, кого пнул гном. Однако следует отметить, что худенькой Алисе гному будет легче неожиданно придать лишний 1 м/с, чем увесистой Алисе. Впрочем, это проблемы гнома, а не наши с Алисой.

Остается формула: v = gh. То есть h равно | (если посчитать, получается 805 метров). Добавление 1 м/с в центре земли дает вылет вверх из дыры примерно на 800 метров.

А что говорит наша интуиция? Не нарушил ли наш гном за­кон сохранения энергии? Нет, не нарушил. Просто гному будет не так‑ то легко увеличить скорость Алисы на 1 м/с. Ему придется со страшной силой размахнуться кулаком, чтобы кулак приобрел скорость Алисы (7910 м/с) плюс еще 1 м/с. Мы бы с вами этого не смогли сделать. А гном, как существо волшебное, может!

 

⇐ Предыдущая20212223242526272829Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: