Врезка 9. Как агент ДвОт ловит шпионов.

Врезка 9. Как агент ДвОт ловит шпионов.

Обозначим через х, у, t координаты ближайших КП, в районе которых был замечен шпион.

Но тогда надо ответить на два вопроса: где находится нача­ло отсчета, и какая будет единица измерения длины? Ответ: ЭТО НЕ ИГРАЕТ РОЛИ. В самом деле, двойное отношение координат (ДвОт) не изменится, если от всех четырех координат отнять од­но и то же число; оно не изменится также, если все координаты умножить на одно и то же число. Поглядите на формулу ДвОт (формула (5)), и вы сразу поймете, почему это происходит. Итак, давайте запросим координаты точек х, у, t, измеренные в киломе­трах до ближайшей погранзаставы. Допустим, они равны 17, 23, 32 соответственно. А как же мы найдем ДвОт, если «г» нам неиз­вестно? А вот так:

 

п О = ^ (t‑ x) ₌  (z – 17) (32 ‑ 17)

 

Приравнивая буквенное выражение ДвОт к его числовому выра­жению, получаем уравнение первой степени для нахождения «г»:

^{АВ Т} (z‑ y)'(t‑ y) (z – 23) ’ (32 – 23) ’

А теперь внимательно изучим кадр аэрофотосъемки, где бы­ли зарегистрированы три КП и один Ш (шпион). Их координаты будем выражать в миллиметрах, а первое КП будем считать на­чалом отсчета (для простоты). Обозначим эти четыре координаты за А, Б, С, Д (где, как мы решили, А = 0). Прочие (ненулевые) координаты мы просто измеряем с помощью миллиметровой ли­нейки, приложенной к фотоснимку. Допустим, мы получили числа (0, 13 мм, 16 мм, 31 мм). Следовательно, мы можем найти ДвОт уже не в виде формулы, а в виде числа:

тт п ‑ (¹⁶^°) (³¹^°) _ о П07

 

^{Дв Т} (16 ‑ 13) ' (31 ‑ 13) ’ '

 

Ј ~ 17. JL _ з Qgj

г ^23 15 ’

Отсюда получаем г и 24, 4 км.

После чего агент ДвОт сообщает начальнику погранзаставы, что подозрительного человека имеет смысл поискать на рассто­янии 24 км и 400 м от заставы. Где он и был найден спящим под кустом, чтобы, дождавшись ночи, начать свою деятельность.

Свойства ДвОт станут понятнее, если рассмотреть следующий пример (рис. 113).

Здесь производится «одномерная» фотосъемка линии ORST из точки К на «линию кадра» OMNL. Конечно, в реальной ситуации будет не линия, а плоскость кадра, и лежать она будет значитель­но ближе к точке К. Но суть дальнейшего исследования можно изложить и на таком условном рисунке.

 

Рис. ИЗ. Изображен прямоугольный равнобедренный треугольник КОТ. Длина катета равна 4 единицы. Из прямого угла опущена высота OL на гипотенузу. Из верхней вершины треугольника К проведены две пунк­тирные линии KR и KS, делящие основание на отрезочки длиной 1.

и 2 ед. Основание треугольника лежит на плоскости, которую фото­графирует самолет (рис. 111). вершина К местоположение самолета, а высота OL лежит в плоскости, в которой находится кадр фотоплен­ки (вторая плоскость случайно может оказаться параллельной первой; но гораздо чаще этого не случается). Точки пересечения линий KR и KS с высотой 0L обозначены за М и N соответственно. Длины отрезков

ОМ, MN, NK равны 6а. 4а. 5а соответственно, где а = (для

полноты картины! ).

Прежде всего отметим, что если бы линия кадра была парал­лельна фотографируемой линии, то соотношение расстояний ме­жду точками 0. R. S. Т и точками 0. М. N. L было бы одинаковым (и равным 1: 1: 2). и никакого «двойного отношения» нам бы не понадобилось.

В случае же, когда параллельности плоскостей нет. произойдет искажение этого соотношения.

Вычислим, насколько сильным оно будет. Уравнения прямых KR. KS легко получить по формуле «уравнение в отрезках»:

+ 1 = 1 (KR) и ^ + ^ = 1 (KS). 24 Уравнение же высоты и того проще – оно имеет вид «у = ж».

Поэтому мы легко находим координаты точек Л/. N: М( 4/5, 4/5) и iV(4/3, 4/3), а также обычное тройное отношение от­резков ОМ: Л / N: NL = 6: 4: 5 (а не 1: 1: 2, как было «на мест­ности»), Можно теперь ввести координаты на прямой OL таким образом, что точка М получит координату 6, точка N координату 10, а точка L координату 15. При этом поменяется масштаб, но он на двойное отношение четырех точек влияния не оказывает.

Теперь мы убедимся, что «ДвОты» для точек О, R, S, Т и для точек О, М, N, L будут СОВПАДАТЬ, несмотря на то, что обыч­ные отношения для них не совпали.

В самом деле, для точек О, R, S, Т ДвОт =

Для точек же О, М, N, L ДвОт = ^^ ^

* *

Теперь второй сюжет: построения циркулем и линейкой.

(В 11 классе я на экзамене по геометрии получил такое зада­ние, что даже и циркулем пользоваться было нельзя. Третий сю­жет, который мы рассмотрим, – это построение одной линейкой. Циркуль отменяется. Есть только линейка. Здесь всё еще веселее. Я расскажу про одну конкретную очень красивую задачу. Но об этом – ниже. )

Помните ли вы о построениях циркулем и линейкой? Построе­ния циркулем и линейкой выводят на весьма сложные математи­ческие закономерности. Что мы умеем строить циркулем и линей­кой? Можно, например, построить равнобедренный треугольник, если известны длина основания и длина боковой стороны.

Ну, скажем, основание 10 см, а боковые стороны – по 13 см. Линейкой проводим любую прямую, циркулем делаем на ней в лю­бом месте засечку. Циркулем же измеряем основание (10 см) и де­лаем па прямой вторую засечку, предварительно установив иглу циркуля в первую. Берем раствор циркуля равным длине боковой стороны (13 см) и ставим иглу циркуля сначала на левый край основания, проводя достаточно длинную дугу в верхней полуплос­кости, а затем на правый край (и проводим дугу до пересече­ния с первой дугой). Взяв линейку, соединяем точку пересечения дуг сначала с левой точкой основания, а потом с правой (см. рис. 114).

 

Рис. 114‑ Построение равнобедренного треугольника с помощью циркуля и линейки.

В общем, всё это быстрее сделать, чем описывать. Если Вы уста­ли, вот вам задачка. Один школьник перепутал, что такое 10 см основание или боковая сторона. И из‑ за этого построил не тот тре­угольник, что было нужно. Как вы думаете, что сильнее искази­лось (в процентах) из‑ за рассеянности: площадь треугольника или его периметр? (Ответ: площадь изменилась больше, чем на 15 про­центов, а периметр менее, чем на 10 процентов. )

Можно построить квадрат. А вот можно ли построить пра­вильный пятиугольник с данной стороной? Это не очень про­сто. Но можно. Пифагорейцы уже умели строить правильный пя­тиугольник. Правильный шестиугольник построить совсем про­сто: строю окружность с радиусом, равным заданной стороне 6‑ угольника. Теперь делаю подряд 6 засечек на окружности окруж­ностью того же радиуса. О чудо, шестая попадает прямо в то место, откуда мы начали. Так уж вышло! Далее прикладываем линейку к первым двум засечкам и проводим отрезок, их соединяющий. Потом то же делаем для следующих двух засечек, и т. д., пока не получим все 6 сторон шестиугольника (см. рис. 115). Итак, пра­вильный шестиугольник построить просто. Треугольник триви­ально. квадрат очень просто, пятиугольник сложно, но можно. Вопрос. Можно ли построить правильный семиугольник? Древние сломали миллион копий в спорах и потратили кучу часов, пытаясь решить эту задачу, но решена она была только в XIX веке!

 

На самом доле, кроме этой задачи, древние оставили нам еще три известные проблемы.

Трисекция угла. Дан какой‑ то угол на плоскости. Надо раз­делить его на три равные части. Знаменитая проблема древних; примерно в том же начале XIX века было доказано, что трисек­ция угла с помощью циркуля и линейки невозможна.

Квадратура круга. Что значит «квадратура круга»? Дан круг. Нужно построить квадрат с такой же площадью. Пусть радиус круга г равен единице, тогда его площадь S равна 7г (по формуле S = 7гг²). Значит, нужно построить квадрат со стороной, равной т/ж. Эта задача эквивалентна задаче построения числа ж. которая тоже была решена (в отрицательном смысле), но только в конце XIX века. Почему она была решена позже, чем другие задачи, оста­вленные нам древними? Потому что люди очень долго не понимали структуру числа тт. В начале XIX века было доказано, что можно построить те и только те точки плоскости, у которых обе коорди­наты могут быть получены из единицы за конечное число опера­ций плюс, минус, умножить, разделить, взять квадратный корень. Берете единицу. Вам разрешается ее складывать с самой собой. Так получатся все натуральные числа. Если будете вычитать все отрицательные. Рассмотрим дроби. Дроби математики назы­вают специальным термином рациональные числа. То есть это

числа, которые представляются в виде «целое делить на целое».

Например, число 2 рациональное, так как может быть пред‑

 

Рис. 116. Изображение чисел вида при п = 2. Если т четно, полу­чаются целые числа (обозначены кружками). Все прочие числа такого вида изображены вертикальной черточкой.

ставлено, как у или То есть все целые числа также являются рациональными. Давайте посмотрим, где будут жить точки «целое число пополам». Во‑ первых, будут жить в целых, потому что лю­бое целое, это как бы «удвоенное целое пополам». Во‑ вторых, они будут жить посередине между соседними целыми (рис. 116).

 

⇐ Предыдущая26272829303132333435Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: