Слушатель: Ноль. Другой Слушатель: Любое. А.С.: Да. И что получится?

Слушатель: Ноль.

Другой Слушатель: Любое.

А. С.: Любое. То есть ноль на ноль, формально говоря, можно разделить, но в результате получится любое число, это матема­тикам тоже не нравится, поэтому решили договориться так, что на ноль просто не делят. А ноль можно разделить на что‑ нибудь?

Слушатель: На всё, кроме нуля.

А. С.: Да. И что получится?

 

Слушатель: Ноль.

А. С.: Только ноль. Да. Ноль можно разделить на что угодно, кроме нуля. В ответе всегда будет ноль.

Теперь число единица. Единицу тоже не считают простым чи­слом, потому что на единицу делится любое число.

Итак, первое простое число – 2. Оно делится только на се­бя и на единицу. Больше четных простых чисел нет, потому что все остальные четные числа делятся на 2. Следующее простое чи­сло – это 3, затем число 5. Вот как выглядят первые простые числа:

/', =2, Р ₂  = 3, Р ₃  = 5,

а далее

7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, ..., /\.

Если утверждение Евклида неверно, то есть если простых чисел конечное число, то в какой‑ то момент выпрыгнет последнее про­стое число. Обозначим его за Рдг‑ Получается, что количество про­стых чисел равно N.

Если Евклид неправ, то значит существует последнее простое число, а каждое из следующих чисел делится на какое‑ то из пре­дыдущих простых чисел. Потому что если число делится на какое‑ то число, то оно и на простое число тоже делится, просто нужно делить, делить – пока не дойдете до простого. Давайте теперь составим произведение: 2 · 5 · 7 · 11 · 13 ‑... · 1\ (точка – знак умно­жения).

Если N имеет порядок, например, нескольких миллиардов, то в этом произведении стоит несколько миллиардов множителей, ко­торые нужно друг на друга умножить. Но натуральный ряд так устроен, что к любому, сколь угодно большому числу можно при­бавить 1.

Так что давайте посмотрим на следующее натуральное число:

2‑ 3‑ Г, ‑ 7 ‑ 11 · 13 ‑ ... · /\ + 1.

Оно не может делиться ни на какое из предыдущих простых чисел, потому что наше произведение от 2 до Рдг делится на все преды­дущие, а если еще единичку прибавить, то делимость сразу уйдет. Если что‑ то, например, на 3 делится, то следующее число уже на 3 не делится. Поэтому, число 2 · 3 ‑ 5 ‑ 7 · 11 ‑ 13 ·... ‑ /\ + 1 заведомо не может делиться ни на 2, ни на 3, ни на 5 и так далее... То есть оно всегда дает остаток 1 при делении на все простые числа. Оно нацело ни на что не разделится. Значит, оно простое. Противоре­чие. Следовательно, простых чисел бесконечное количество.

Некоторое время, правда, недолго, ученые думали, что таким образом можно получить рецепт изготовления простых чисел.

+ 1 – простое число.

2‑ 3 + 1 – простое,

· 3 · 5 + 1 – простое,

· 3 · 5 · 7 + 1 – простое, · 3 · 5 · 7 · 11 + 1 – простое,

2‑ 3‑ 5‑ 7‑ 11‑ 13 + 1 – уже не простое (30031), так как оно делится на 59.

Рецепт не работает.

Мы знаем, что простые числа в натуральном ряду чисел встре­чаются в бесконечном количестве. А теперь вопрос, как они рас­пределены? Можно ли тут какие‑ то закономерности установить? Насколько часто или редко они встречаются?

Рассмотрим такое произведение

1‑ 2‑ 3‑ 4‑ 5‑... ‑ 100 = 100! (называемое «сто факториал»).

100 факториал – это произведение подряд идущих натуральных чисел от 1 до 100.

Это – огромное число, его невозможно себе даже представить, но все‑ таки где‑ то в натуральном ряду оно есть. Следующее за ним число 100! + 1, потом 100! + 2. Это число будет делиться на 2. Потому что 100! делится на 2, и 2 делится на 2. 100! +3 делится на 3, 100! + 4 делится на 4 и на 2, 100! + 5 делится на 5.

И так до ста. 100! + 100 будет делиться на 100. Получается, что цепочка от 100! + 2 до 100! + 100 – из 99 натуральных иду­щих подряд чисел простых чисел в себе не содержит. Можно ли сконструировать то же самое, но для 1000 подряд идущих непро­стых чисел? Конечно. Берете 1001!, то есть произведение всех чи­сел от 1 до 1001, прибавляете 2, 3, 4 и так далее до 1001. Вот вам 1000 подряд идущих чисел, среди которых нет простых. Значит, регулярности в проявлении простых чисел ожидать нельзя. Про­межутки между соседними простыми числами могут быть сколь угодно большими. Можно ли сказать что‑ то про то, насколько ма­ленькими они могут быть?

Слушатель: Единица – минимальный промежуток.

А. С.: Единица. Но она встречается только в самом начале, ме­жду 2 и 3. Потому что из двух соседних чисел одно обязательно четное, а значит – не простое (кроме случая 2 и 3). Получается, что минимальное расстояние между соседними простыми числами, начиная с числа 3, равно 2.

Вначале мы очень много видим этих «двоек» (то есть простых чисел, идущих через одно), потом они становятся всё реже и реже, и возникает вопрос: а кончатся ли эти «двойки» когда‑ нибудь? Будет ли момент натурального ряда, может быть, ужасно далеко от нас, когда появится последняя двойка соседних простых чисел, отличающихся на 2 единицы? Такие числа, кстати, называются близнецами: 29 и 31, 41 и 43, 71 и 73, 101 и 103. Будет ли момент, когда мы встретим последних близняшек, а между оставшимися простыми числами расстояние всегда будет не меньше трех (на самом деле четырех, потому что они заведомо оба нечетные)?

Это – нерешенная математическая проблема.

Я вам расскажу про одно маленькое «но», которое позволяет оптимистам утверждать о некотором прогрессе в решении этой про­блемы. Чтобы вы сразу почувствовали, однако, насколько анекдо­тичен этот прогресс, выслушайте такую притчу.

В одной стране попытались доказать теорему: У каждого мужа должно быть не более трех жен. Долго не удавалось ее никак до­казать. Наконец, дело сдвинулось с мертвой точки. Была доказана близкая к ней теорема: У каждого мужа должно быть не более трех миллионов жен. Ученые продолжают размышлять над этой проблемой.

Так вот. Специалисты по теории чисел решили взглянуть на «проблему близнецов» под похожим, так сказать, углом.

Может быть, можно сказать, что вот хотя бы на каком‑ то дру­гом расстоянии d (превышающем двойку) уже можно гарантиро­вать, что бесконечно много раз появятся соседние простые? То есть что расстояние между соседними простыми не будет уходить в бесконечность? До 2013 года это оставалось открытой пробле­мой даже в такой формулировке. В 2013 году математик Итан Чжан (Yitang Zhang) – китаец, работающий в США (как это ча­сто случается с китайцами), доказал, что существует бесконечное множество пар простых чисел на расстоянии, не превышающем некоторого числа d 2. Доказательство проверили: правильно, есть такое число d. Но единственное, что про него известно, – что оно не превышает 70000000 (см. вышеуказанную притчу). Как го­ворится, хотели рассматривать простые числа через окошко дли­ной в три единицы (2‑ трафарет) – не добились толку. А потом взяли трафарет побольше (70000000‑ трафарет), и получилось. Та­ким образом, здесь просматривается новое понятие «обобщенные простые числа‑ близнецы». Так что бывают 2‑ близнецы, бывают и 6‑ близнецы, ..., 70000000‑ близнецы. Проблема распалась на бес­конечную серию проблем, и с какого‑ то места (то есть с какого‑ то числа d) она оказалась решенной положительно.

Ведь что такое трафарет? Это такая рамочка. Вот я беру трафа­рет длиной в 70000000, и в окошечко рассматриваю натуральный ряд, двигаясь вдоль него. Фиксирую моменты, когда внутри этого промежутка встречаются простые числа (более одного). Так вот, их будет бесконечное количество, этих моментов. Чжан доказал, что достаточно взять трафарет длиной в 70000000, чтобы поймать бесконечное количество простых обобщенных близнецов. Конечно, если я сделаю d = 70000001, тем более поймаю бесконечное коли­чество этих обобщенных близнецов. А если возьму чуть меньше, например, 60000000, то уже точно сказать ничего нельзя.

Это – большой прорыв. Потому что в 1896 году Адамаром и Валле‑ Пуссеном было доказано, что частота появления простых чисел уменьшается. Рассказывают, что Адамар появился в этот день в кафе и сиял как медный грош. Друзья спросили его: «Что‑ то у тебя такое хорошее настроение, как будто ты доказал асимпто­тический закон распределения простых чисел». А он и отвечает: «Вы знаете, вы не поверите, но я именно это и сделал, и именно с этим и связано мое хорошее настроение».

«Да ладно», – говорят. Потом проверили и оказалось, что до­казательство верно.

Почему это потрясает и почему это убедительно говорит о не­регулярности появления простых чисел? Потому что закон Валле‑ Пуссена и Адамара говорит, что между соседними простыми числа­ми (в районе натурального числа п) в среднем расстояние равно In п (натуральный логарифм числа п). Эта функция очень медлен­но растет, но тем не менее стремится к бесконечности с ростом числа п.

Потом долго пытались придумать формулу для простого числа. Ее искали очень долго и в какой‑ то момент переключились на до­казательство того, что ее в принципе быть не может. А в 1976 году на основе решения российским математиком Ю. В. Матвеевичем десятой проблемы Гильберта был написан конкретный много­член 25‑ й степени с целыми коэффицентами от 26 переменных. (В формуле использованы все буквы английского алфавита: а, Ь, с, d и так далее до х, у, z. ) Про этот многочлен удалось доказать, что если подставить в него вместо букв целые неотрицательные числа и вычислить полученное значение, то всегда, когда результат бу­дет положительным числом – оно обязательно будет оказываться простым.

Более того, до ЛЮБОГО простого числа «можно добраться» с помощью какого‑ то значения именно этого многочлена. Этот мно­гочлен не может в полном смысле слова считаться «формулой для n‑ го простого числа», но является хорошей (и неожиданной) заменой этой формулы.

Но на этом дело не закончилось. В 2013 году открылась охо­та на константу Чжана. Это такое число, про которое уже уда­лось доказать, что на трафарете соответствующей величины, если его двигать по натуральному ряду, будет встречаться бесконечное количество пар простых. Вы не поверите, но к концу 2013 года 70000000 заменили на число 300, даже на 246. Так сказать, еще не доказали, что должно быть не более 3 жен, но доказали, что их не более 246.

И вот я этим 246‑ трафаретом еду по натуральному ряду, и бес­конечное число раз считываю простые числа, которые попали в него. Более того, при условии доказательства некоторого фак­та, в который все верят, но еще не доказали, трафарет сократят до 12, а там и до исходной проблемы чисел‑ близнецов доберут­ся... 2500 лет люди ничего не знали про минимальное расстояние между простыми, полтора года назад28 прорывной результат, сни­жение этой границы. И теперь гипотеза простых близнецов трещит по всем швам (впрочем, еще держится).

Еще немного про простые числа. Давайте рассмотрим ряд, ко­торый похож на ряды с бесконечным числом слагаемых, которые мы уже рассматривали:

+ – + – + – Ч Ь

3 5 711

Я буду суммировать числа, обратные к простым. Как говорят мате­матики, «сходится этот ряд или расходится»? Конечная или бес­конечная сумма получится? Удивительный ответ состоит в том, что бесконечная. Это открыли в начале XIX века.

11111 2 ⁺ 3 ⁺ 5 ⁺ 7⁺n⁺‑ ‑ ‑ “⁺⁰°‑

Какое бы число К вы ни взяли, можно указать такое натураль­ное число п, что, дойдя до члена с номером п, сумма ряда будет превосходить число К.

А если суммировать только обратные к простым близнецам, то сумма будет конечна. Это значит, что простых близнецов заметно меньше, чем всех простых чисел. Потому что если составить ряд из обратных простых, то он пойдет в бесконечность, а если соста­вить ряд из обратных простых близнецов, то он будет конечным. И никто не знает пока, происходит ли это потому, что он где‑ то за­кончится и фактически эта сумма будет конечной, или из‑ за того, что простых близнецов бесконечное количество, но зазоры между ними быстро растут. Все математики, которые этим занимаются, верят, что простые близнецы никогда не кончатся. Но пока это все‑ таки остается гипотезой.

Расскажу заодно про еще одну нерешенную математическую проблему. Знаете ли вы, что такое совершенные числа? Что озна­чает «мне исполнилось совершенное число лет»?

Слушатель: Это 18‑ летие.

А. С.: Нет, это вовсе не 18 лет! 18 – число несовершенное, а вот

и 28 – совершенные числа! Поэтому математических совершен­нолетий в жизни каждого человека бывает ровно два – это когда человеку исполняется 6 лет, и затем – когда исполняется 28.

По определению, совершенное число – это такое число, которое равно сумме всех своих делителей, кроме себя самого. Например,

= 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2+4 + 7 + 14. Следующее совершенное число – 496, но до этого возраста никто (кроме библейских персонажей) еще не доживал.

Для четных совершенных чисел есть общая формула:

₂fe(₂fe+¹ _ х)

(где к обозначает произвольное натуральное число).

Правда, число такого вида совершенное тогда и только тогда, когда (2^fe+1 – 1) – простое число. При к = 1, 2, 4 получаются как раз совершенные числа 6, 28, 496, а при к = 3 – число 120, совер­шенным не являющееся (потому что число 2^fe+1 – 1 = 15 в этом случае не является простым).

Тем не менее никто не знает, беконечно количество четных со­вершенных чисел или нет. Потому что никто не знает, бесконечно ли количество простых чисел вида (2^fe+1 – 1), или же оно конечно.

Последняя задача называется проблемой Мерсенна, а сами про­стые числа вида (2 ^к  – 1) – простыми числами Мерсенна. Если мы поменяем в этом выражении знак минус на плюс, то получим так­же весьма интересную и важную, как мы увидим ниже, задачу – а именно, какие из чисел вида (229 +1) являются простыми? К Lft задаче мы вернемся ниже, а пока я расскажу кое‑ что еще про со­вершенные числа – конкретно, про нечетные совершенные числа.

Ровно 28 лет назад (совершенное число! )* я поступил в 57‑ ю школу. На уроках специальной математики мы решали задачки из так называемых листочков, в которых приводились только опре­деления математических понятий и объектов, а все свойства объ­ектов уже мы сами должны были доказать.

Так вот, в листочке номер 6 (совершенное число! ), в задаче под номером 6 (sic! ) речь шла о совершенных числах. Было дано их определение, а затем сформулированы три пункта: пункт 6(a) предлагал доказать, что любое четное число вышеуказанного вида является совершенным, если число (2^fe+1 – 1) простое; пункт 6(6) шел со звездочкой, и в нём требовалось доказать, что других чет­ных совершенных чисел не существует; и наконец, пункт 6(в) шел с тремя (!! ) звёздочками, и в нём предлагалось доказать, что не­четных совершенных чисел не существует.

Никогда до этого ни в одном листочке не было задачек с тре­мя звездочками. Редкие задачки с двумя звездочками вызывали нездоровую конкуренцию математических самцов в нашем классе за то, кто быстрее решит очень сложную задачку и покрасуется перед немногими и потому особенно драгоценными для нас одно­классницами.

Увидев задачку с тремя звездочками, я бросил всё и два выход­ных подряд пытался ее решать.

Я исписал две общие тетради (кто постарше – помнит, что это такое!!! ). В понедельник я шел в школу с опущенной головой, уже представляя себе Рому Безрукавникова, Сашу Сидорова или Са­шу Стояновского у доски, взахлеб рассказывающими решение этой задачи.

Интернета в те годы не было. Поэтому неудивительно, что всё принималось за чистую монету. Саша Шень (один из моих учите­лей в школе 57) стоял у стола, народ потихоньку собирался. Я по­дошел к нему, швырнул на стол свои тетрадки и сказал: «Сдаюсь».

«Ничего удивительного, – ответил Саша, – это пока что не­решенная математическая проблема. Мы дали на авось – вдруг кто‑ нибудь из вас изловчится и решит?.. »

С тех пор прошло много лет, а воз и ныне там – до сих пор не­известно, существуют ли нечетные совершенные числа, или их нет совсем. Примера нет, но и доказательства несуществования – то­же нет. Конечно, компьютер перебирает уже лет 50‑ 70 одно за дру­гим и проверяет, но к абсолютному доказательству такая провер­ка будет иметь отношение только в том случае, если вдруг какое‑ то нечетное число и впрямь окажется совершенным.

Вернемся теперь к проблеме Мерсенна ‑ точнее, к ее «близне­цу». Про числа вида (2^fe + 1) (которые, кстати, использовал Гаусс при построениях! ) известно довольно много.

Фокус состоит в том, что такое число простым может быть толь­ко в том случае, если к тоже является степенью двойки! И сейчас я это докажу.

 

Теорема. Если число (2^к + 1) – простое, то к = 2¹, то есть исходное число, имеет вид 2² +1.

Доказательство. Для доказательства нам потребуется один факт из школьной программы:

ж³ + 1 = (х + 1)(ж² – X + 1).

Вместо х можно подставить любое число. 2³ + 1, З³ + 1, 4³ + 1 рас­кладываются на такие множители. На самом деле раскладывается любая нечетная степень плюс один, например, ж⁵ + 1:

ж⁵ + 1 = (ж + 1)(ж⁴ – ж³ + ж² – ж + 1).

А четную степень плюс один таким способом разложить не полу­чится.

Предположим, что к не является степенью двойки. Это означа­ет, что у него есть нечетный простой делитель. У каждого числа есть какие‑ то простые делители. У некоторых чисел есть нечетные простые делители, у некоторых нет. Если у кого нет нечетных про­стых делителей, значит, это число делится среди простых чисел только на 2. Потому что все остальные простые числа нечетные. Но если число делится среди простых только на 2, то оно, очевид­но, есть степень двойки. Если же у него хотя бы один множитель будет нечетный, то я сделаю с ним следующее.

Предположим, что к не является степенью 2, тогда к равно не­которому нечетному числу р  умножить на какое‑ то число t: к = pt. Что же такое теперь 2 ^к  + 1?

2 ¹ ' + 1 2 ¹ ’ ¹  + 1 (2 *)Р + 1 =

 

⇐ Предыдущая28293031323334353637Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: