= (2* + 1)((2*)(Р"1) ‑ (2*)(р‑2) + (2*)(р‑3) ‑.. + 1).

Я разложил 2 ^к  + 1 на множители, очевидно отличные от 1 и даже положительные, значит, простым оно быть не может.

Поэтому число 2 ^к  +1 может быть простым только в том случае, если к = 2 ¹  – степень двойки.

Пьер Ферма полагал, что все такие числа простые. Это была гипотеза Ферма. Он написал в свей тетрадке «мне кажется, что все эти числа простые». Он не был уверен, ему только казалось. Первое такое число: 2² + 1 = 5 – простое. Следующее: 2¹ +1 = 17 – простое. Дальше, 2^Н +1 257 – простое, 2 " ’ +1 = 65537 – простое.

Однако уже следующее число такого вида оказалось составным. Ферма ошибся. Но, вообще, Ферма обычно не ошибался. Есть такой принцип, «Ферма ни разу не обманул»30. Все утверждения, которые он сделал с пометкой «это удалось строго доказать», впослед­ствии были доказаны. Он не оставлял доказательств, предлагая поверить ему на слово. Однако, в этом конкретном случае он на­писал: «мне кажется». И таки нет: 2³² + 1 раскладывается на мно­жители. Единственным исключением из «правила Ферма» была великая теорема Ферма, ее никак ни могли доказать. Но потом она тоже перестала быть исключением. Ее тоже доказали. Про­блема только в том, что то доказательство, которое сейчас суще­ствует, ни при каких условиях не мог выдумать сам Ферма. Оно содержит настолько сложную математику, которую Ферма не мог знать. Но ведь могло быть, что Уайлз (доказавший Великую Те­орему Ферма в 1993‑ 1994 годах) «ехал из Москвы в Питер через Киев», а Ферма ехал напрямую. Никто этого не знает наверняка!

Давайте вернемся к числам п = 3, 5, 17, 257, 65537,.... Их на­звали простыми числами Ферма. Они замечательны тем, что та­кие правильные n‑ угольники строятся циркулем и линейкой. Пер­вый нетривиальный из них, 17‑ угольник, построил ещё Гаусс. А затем Ванцель доказал следующую общую теорему: правильный n‑ угольник может быть построен с помощью циркуля и линейки в том и только том случае, если в разложение числа п на простые множители (единственное, в силу Основной Теоремы Арифмети­

 

Прежде чем приступить к решению этой задачи, давайте немно­го отвлечемся и вспомним формулу сокращенного умножения

 

а² – Ь² = (а – Ь)(а + Ь).

Давайте докажем тождество а ²  + Ь² = с² геометрически.

Нарисую квадрат со стороной а. И вырежу из него квадратик со стороной Ъ.

 

а² – Ь² = (а – b) (а + b) а а – b

 

Рис. 132. Формула сокращенного умножения «в картинках».

Я хочу узнать, чему равна остающаяся площадь? Для этого я отрезаю прямоугольник и приставляю его снизу. Получаю пря­моугольник со стропами а – Ь и а + Ь и площадью (о, – Ь)(а + Ь).

Итак, с одной стороны оставшаяся площадь равна а? ^Ь ² . С дру­гой стороны (а – Ъ)(а + Ъ). Значит, a ² ^t ²  = (а – Ъ)(а + Ъ). Тождество доказано.

А что такое прямой угол?

Слушатель: 90 градусов.

А. С.: А если кто‑ то прилетел с Марса, как ему объяснить, что значит «прямой угол»?

Есть безупречное определение прямого угла. Это такой угол, который, если вырезать его из бумаги и приставить к самому себе, даст развернутый угол (рис. 133).

 

Рис. 133. Слова исходный угол, справа приставлена к ному копия этого угла, вырезанного из бумаги. А внизу получилась сплошная пря­мая линия. Как говорится, ясно даже марсианину...

Развернутый угол это прямая. Прямой угол это но л овина развернутого угла. Это выводит нас на очень интересный вопрос: что имел в виду Евклид, когда писал, что все прямые углы равны между собой? Что такое «равны»? Есть одно очень важное поня­тие движение. Движение преобразование, которое сохраняет расстояние между парами точек. Мы всегда можем померить рас­стояние между точками на плоскости. Потом мы можем плоскость поворачивать, отражать, двигать главное, чтобы расстояние ме­жду точками не менялось. Так вот «равны» это всегда означает «совмещаются движением».

В 1872 году знаменитый немецкий математик Феликс Клейн вы­ступил с так называемой «Эрлангенской программой». Он сказал, что геометрия это наука о том. какие свойства фигур не меня­ются при «разрешенных преобразованиях». В частности, школь­ная геометрия это наука о том. какие свойства фигур не меня­ются при движениях. Но преобразования бывают и более общего рода: растяжение, инверсия. Есть много разных преобразований. И высокая геометрия, геометрия Лобачевского, сферическая гео­метрия это всё примеры того, как мы следуем Эрлангенской программе Клейна. То есть геометрию можно охарактеризовать как науку о свойствах фигур, которые не меняются при преобра­зованиях.

Я хотел охарактеризовать прямоугольные треугольники. Эта задача, несмотря на то. что ее полностью решили еще в античном мире. не самая простая. Вы быстро найдете несколько примеров целых сторон, для которых верно с² = а ²  + Ь². Ну. скажем, вот а = 3, Ь = 4. с = 5:

9 + 16 = 25.

Давайте посмотрим, сможем ли мы угадать еще какие‑ нибудь тройки? Посмотрим на картинку, которую тоже должны изучать в школе (в древнегреческой школе она была! ).

 

Рис. 134‑ Справа – столбики различной высоты (по‑ гречески «гномо­ны»). Высота измеряется числом клеточек, помещающихся в столбик, и указана внутри них. Каждый гномон, начиная со второго, «заворачи­ваем» на 90 градусов (слева). Его площадь от этого не изменится! Вот и получилось доказательство замечательной теоремы: «Сумма нечетных чисел от 1 и до 2п – 1 равна те²».

Картинка на рис. 134 помогает понять тот факт, что сумма

+ 3 + 5 + 7 + 9 +... на любом шаге вычислений дает квадрат натурального числа. Одновременно это – способ увидеть, чем от­личаются друг от друга два соседних квадрата. А именно, два со­седних квадрата всегда отличаются на нечетное число.

Но нечетные числа тоже иногда бывают квадратами, например, g _ _{эт0 3}2.

Значит, в момент, когда между соседними квадратами слой со­стоял из 9 квадратиков, у нас очевидным образом появилось ре­шение соответствующего уравнения Диофанта.

 

а

 

(I ■ 1

Рис. 135. Поиск одной серии решений уравнения и² + Ь ²  = (?.

Подобным же способом можно получить бесконечное множество таких троек. Все эти тройки будут иметь следующий специальный вид: (a, b, а + 1). Здесь Ъ нечетное число, обладающее тем свой­ством. что в изогнутой полоске между квадратом размера а на а и квадратом размера (о, + 1) на (о, + 1) умещается ровно Ь ²  маленьких квадратиков (см. рис. 135).

То есть между а ²  и (а + I)². между этими квадратами, иногда разница будет являться квадратом. И именно тогда, когда нечет­ное число будет случайно оказываться квадратом, будет появлять­ся новая тройка решений уравнения Диофанта.

Какое следующее нечетное число будет квадратом? 25. Давайте посмотрим, чему равна тогда разница между соседними квадрата­ми. На сколько клеточек отличаются а ²  и (а, + I)²? На 2а + 1.

с = а + 1

 

Ь² =2а+1

 

⇐ Предыдущая29303132333435363738Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: