Г.П. Хамитов, Т.И. Ведерникова
Г. П. Хамитов, Т. И. Ведерникова
1. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ Основные понятия раздела Исходом (элементарным событием) называется неразложимый результат испытания , характеризуемый значениями параметров, которые это испытание позволяют измерить. Пространством исходов испытания называется множество всех исходов (элементарных событий), при этом пишут: , либо . Случайным событием называется свойство изучаемой системы, которое обнаруживается или не обнаруживается при каждой реализации испытания . Каждое событие характеризуется множеством тех точек , для которых оно имеет место. Событие определяется этим подмножеством и отождествляется с ним (событие произошло, если произошло какое-либо из элементарных событий ). Над множествами (событиями) можно выполнять элементарные операции теории множеств: пересечение: , событие – произведение событий и ; объединение: , – сумма событий и . Если пересечение компонент объединения представляет собой пустое множество, т. е. (множество не содержит элементарных событий), то обозначают , а события и называют несовместимыми (несовместными). Событие называют достоверным, событие – невозможным. Разность событий и соответствует множеству , состоящему из элементарных исходов, принадлежащих и не принадлежащих . Событие называется дополнительным к (противоположным событию ). Задачи с решениями 1. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность , где каждый из обозначает выпадение " герба" или " решки". Требуется: а) построить пространство элементарных событий ; б) перечислить элементарные исходы, образующие случайное событие , состоящее в том, что выпало не менее двух " гербов".
Решение. Обозначим через Р выпадение " решки" и через Г – выпадение " герба", тогда каждое будет либо Р, либо Г. а) . б) . 2. Событие является частным случаем события (рис. 1. 1). Чему равны их объединение и произведение? Решение. . Из следует, что из осуществления события следует осуществление , т. е. . Отсюда можно записать, что . . Исходя из того, что (т. е. если , то ), перепишем .
3. Даны два случайных события и . а) Найти результаты операций: и . б) Когда события и равносильны? в) Являются ли совместными события и ? Решение. а) . . б) , когда (см. задачу 2). в) . Следовательно, события и несовместны. 4. Пусть , , – случайные события. Когда выполняются равенства: а) ; б) ? Решение. а) . Обозначим через и перепишем данное соотношение . Отсюда видно (см. пример 2), что равенство имеет смысл, когда ; б) , когда ( ). 5. Доказать, что события , и образуют полную группу несовместных событий. Решение. Случайные события образуют полную группу несовместных событий, если они попарно не пересекаются и в сумме образуют пространство исходов . Имеем: , , . Отсюда получаем . С другой стороны, , т. к. , , Следовательно, события , и образуют полную группу несовместных событий. 6. Событие – хотя бы одно из имеющихся изделий бракованное; событие – бракованных изделий среди имеющихся четырех не менее двух. Что означают противоположные события: и ? Решение. Событие является противоположным к событию A, следовательно, в сумме они образуют все пространство исходов, тогда означает, что среди имеющихся четырех изделий бракованных нет. Рассуждая аналогично, утверждаем, что означает – среди имеющихся четырех изделий бракованных меньше двух.
7. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Пусть событие, состоящее в том, что i-ая деталь окажется стандартной. Выразить через событие, состоящее в том, что из трех проверенных изделий только одно нестандартное. Решение. Обозначим через событие, состоящее в том, что из трех проверенных изделий только одно нестандартное. Возможно наступление трех несовместных событий: – первое изделие нестандартно, а два другие стандартны; – нестандартно только второе изделие; – первые два изделия стандартны, третье нестандартно. Отсюда получаем, что . 8. В ящике содержатся шары двух цветов: синие и красные. Пусть – событие, состоящее в том, что при единичном испытании вынут синий шар, а – что при единичном испытании вынутый шар окажется красным. Запишите событие, означающее, что вынуты два шара одного цвета. Решение. Обозначим искомое событие через . Оно будет заключаться в том, что вынуты или два синих шара, т. е. произошло событие , или два красных шара – событие . Эти два события являются несовместными, тогда получаем (индексы означают номер испытания). 9. Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Пусть событие заключается в том, что выбранный студент окажется юношей. Событие – в том, что студент не курит. Событие состоит в том, что студент живет в общежитии. а) В чем заключается смысл события ? б) При каком условии будет иметь место тождество ? в) Когда будет справедливо соотношение ? г) Когда будет справедливо равенство ? Решение. а) Событие – выбранный студент – юноша. Событие – студент не курит и живет в общежитии. Событие является противоположным к событию , а это значит, что студент курит или не живет в общежитии (в терминах совместных событий), либо: курит и не живет в общежитии, или живет в общежитии и курит, или не курит и не живет в общежитии (в терминах несовместных событий). Тогда состоит в том, что выбран юноша, который не живет в общежитии или курит (в терминах совместных событий), либо: юноша курит и не живет в общежитии, или юноша живет в общежитии и курит, или юноша не курит и не живет в общежитии (в терминах несовместных событий). Формально: . б) Воспользуемся обозначением и перепишем исходное равенство . Тогда (см. пример 1) , т. е. тождество будет иметь место, когда все юноши не курят и живут в общежитии.
в) Событие означает, что студент не живет в общежитии, – что не курит. Соотношение будет справедливо тогда, когда неживущие в общежитии не курят. г) Событие означает, что выбрана девушка. Событие – студент не курит. Тогда справедливо, когда все девушки не курят, а все юноши курят. 10. Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие заключается в том, что i-ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что а) ни одна из деталей не имеет дефекта (событие ); б) хотя бы одна деталь имеет дефект; в) только одна деталь имеет дефект (событие ). Решение. а) Если есть событие, что i-ая изготовленная деталь имеет дефект, то – событие противоположное, т. е. i-ая деталь не имеет дефекта. Искомое событие состоит в том, что ни одна из n изготовленных деталей не имеет дефектов, т. е. и 1-ая деталь не имеет дефекта, и 2-ая деталь не имеет дефекта, и так далее, и n-ая деталь без дефекта, т. е. имеет место произведение событий . б) Хотя бы одна деталь имеет дефект означает, что дефектными могут быть одна, две, ..., все детали, т. е. это событие является противоположным к событию B (п. (а) данной задачи). Искомое событие есть . в) Когда говорят, что только одна деталь имеет дефект, то это означает, что дефектна или 1-ая деталь, или 2-ая деталь, или и так далее n-ая деталь (при этом остальные (n-1) деталей не имеют дефектов). Тогда искомое событие запишется следующим образом: .
Воспользуйтесь поиском по сайту: ©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|