Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!
МегаЛекции

Г.П. Хамитов, Т.И. Ведерникова




Г. П. Хамитов, Т. И. Ведерникова


 

1. ПРОСТРАНСТВО ЭЛЕМЕНТАРНЫХ СОБЫТИЙ. ОПЕРАЦИИ НАД СОБЫТИЯМИ

Основные понятия раздела

Исходом (элементарным событием)  называется неразложимый результат испытания , характеризуемый значениями параметров, которые это испытание позволяют измерить.

Пространством  исходов  испытания  называется множество  всех исходов (элементарных событий), при этом пишут: , либо .

Случайным событием называется свойство изучаемой системы, которое обнаруживается или не обнаруживается при каждой реализации испытания . Каждое событие  характеризуется множеством  тех точек , для которых оно имеет место. Событие определяется этим подмножеством и отождествляется с ним (событие произошло, если произошло какое-либо из элементарных событий ).

Над множествами (событиями) можно выполнять элементарные операции теории множеств:

пересечение: , событие  – произведение событий  и ;

объединение: ,  – сумма событий  и .

Если пересечение компонент объединения представляет собой пустое множество, т. е.  (множество  не содержит элементарных событий), то  обозначают , а события  и  называют несовместимыми (несовместными).

Событие  называют достоверным, событие  – невозможным.

Разность событий  и  соответствует множеству , состоящему из элементарных исходов, принадлежащих  и не принадлежащих . Событие  называется дополнительным к  (противоположным событию ).

Задачи с решениями

1. Монета подбрасывается три раза подряд. Под исходом опыта будем понимать последовательность , где каждый из  обозначает выпадение " герба" или " решки". Требуется: а) построить пространство элементарных событий ; б) перечислить элементарные исходы, образующие случайное событие , состоящее в том, что выпало не менее двух " гербов".

Решение. Обозначим через Р выпадение " решки" и через Г – выпадение " герба", тогда каждое  будет либо Р, либо Г.

а) .

б) .

2. Событие  является частным случаем события  (рис. 1. 1). Чему равны их объединение и произведение?

 

Решение. . Из  следует, что из осуществления события  следует осуществление , т. е. . Отсюда можно записать, что . . Исходя из того, что  (т. е. если , то ), перепишем .

 

3. Даны два случайных события  и .

а) Найти результаты операций:  и .

б) Когда события  и  равносильны?

в) Являются ли совместными события  и ?

Решение.

а) .

.

б) , когда  (см. задачу 2).

в) . Следовательно, события  и  несовместны.

4. Пусть , ,  – случайные события. Когда выполняются равенства:

а) ; б) ?

Решение.

а) . Обозначим через  и перепишем данное соотношение . Отсюда видно (см. пример 2), что равенство имеет смысл, когда ;

б) , когда  ( ).

5. Доказать, что события ,  и  образуют полную группу несовместных событий.

Решение. Случайные события образуют полную группу несовместных событий, если они попарно не пересекаются и в сумме образуют пространство исходов .

Имеем: , , . Отсюда получаем . С другой стороны,

, т. к. ,

,

Следовательно, события ,  и  образуют полную группу несовместных событий.

6. Событие  – хотя бы одно из имеющихся изделий бракованное; событие  – бракованных изделий среди имеющихся четырех не менее двух. Что означают противоположные события:  и ?

Решение. Событие  является противоположным к событию A, следовательно, в сумме они образуют все пространство исходов, тогда  означает, что среди имеющихся четырех изделий бракованных нет.

Рассуждая аналогично, утверждаем, что  означает – среди имеющихся четырех изделий бракованных меньше двух.

7. Отдел технического контроля проверяет изделия на стандартность. Пусть  событие, состоящее в том, что i-ая деталь окажется стандартной. Выразить через  событие, состоящее в том, что из трех проверенных изделий только одно нестандартное.

Решение. Обозначим через  событие, состоящее в том, что из трех проверенных изделий только одно нестандартное. Возможно наступление трех несовместных событий:  – первое изделие нестандартно, а два другие стандартны;  – нестандартно только второе изделие; – первые два изделия стандартны, третье нестандартно. Отсюда получаем, что .

8. В ящике содержатся шары двух цветов: синие и красные. Пусть  – событие, состоящее в том, что при единичном испытании вынут синий шар, а  – что при единичном испытании вынутый шар окажется красным. Запишите событие, означающее, что вынуты два шара одного цвета.

Решение. Обозначим искомое событие через . Оно будет заключаться в том, что вынуты или два синих шара, т. е. произошло событие , или два красных шара – событие . Эти два события являются несовместными, тогда получаем  (индексы означают номер испытания).

9. Среди студентов, собравшихся на лекцию, выбирают наудачу одного. Пусть событие  заключается в том, что выбранный студент окажется юношей. Событие  – в том, что студент не курит. Событие  состоит в том, что студент живет в общежитии.

а) В чем заключается смысл события ?

б) При каком условии будет иметь место тождество ?

в) Когда будет справедливо соотношение ?

г) Когда будет справедливо равенство ?

Решение.

а) Событие  – выбранный студент – юноша. Событие  – студент не курит и живет в общежитии. Событие  является противоположным к событию , а это значит, что студент курит или не живет в общежитии (в терминах совместных событий), либо: курит и не живет в общежитии, или живет в общежитии и курит, или не курит и не живет в общежитии (в терминах несовместных событий). Тогда  состоит в том, что выбран юноша, который не живет в общежитии или курит (в терминах совместных событий), либо: юноша курит и не живет в общежитии, или юноша живет в общежитии и курит, или юноша не курит и не живет в общежитии (в терминах несовместных событий). Формально: .

б) Воспользуемся обозначением  и перепишем исходное равенство . Тогда (см. пример 1) , т. е. тождество  будет иметь место, когда все юноши не курят и живут в общежитии.   

в) Событие  означает, что студент не живет в общежитии,  – что не курит. Соотношение  будет справедливо тогда, когда неживущие в общежитии не курят.

г) Событие  означает, что выбрана девушка. Событие  – студент не курит. Тогда  справедливо, когда все девушки не курят, а все юноши курят.

10. Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие  заключается в том, что i-ая изготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, состоящее в том, что а) ни одна из деталей не имеет дефекта (событие ); б) хотя бы одна деталь имеет дефект; в) только одна деталь имеет дефект (событие ).

Решение.

а) Если  есть событие, что i-ая изготовленная деталь имеет дефект, то  – событие противоположное, т. е. i-ая деталь не имеет дефекта. Искомое событие состоит в том, что ни одна из n изготовленных деталей не имеет дефектов, т. е. и 1-ая деталь не имеет дефекта, и 2-ая деталь не имеет дефекта, и так далее, и n-ая деталь без дефекта, т. е. имеет место произведение событий .

б) Хотя бы одна деталь имеет дефект означает, что дефектными могут быть одна, две, ..., все детали, т. е. это событие является противоположным к событию B (п. (а) данной задачи). Искомое событие есть

.

в) Когда говорят, что только одна деталь имеет дефект, то это означает, что дефектна или 1-ая деталь, или 2-ая деталь, или и так далее n-ая деталь (при этом остальные (n-1) деталей не имеют дефектов). Тогда искомое событие запишется следующим образом:

.

Поделиться:





Воспользуйтесь поиском по сайту:



©2015 - 2024 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...