Задачи для самостоятельной работы

1. 1. Бросается игральная кость. Событие  – выпадет четное число очков, событие  – выпадет число очков, меньшее трех. Что означают следующие события: , , , , ?

1. 2. Бросаются две игральные кости. Событие  – на каждой грани выпадает четное число очков, событие  – на каждой грани выпадает нечетное число очков, событие  – хотя бы на одной из костей выпала 1, событие  – сумма очков на верхних гранях четная,  – на каждой грани выпадут очки одной четности.

а) Что означают события: , , , , , , ,  и ?

б) Доказать, что .

в) Описать события: , , , , , .

1. 3. Пусть ,  и  – три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из ,  и : а) произошли все три события; б) произошло только одно из этих событий; в) произошло, по крайней мере, два из этих событий.

1. 4. Объединение  двух событий может быть выражено как объединение двух несовместных событий . Выразить аналогичным образом объединение трех событий ,  и .

1. 5. Доказать равенство . Изобразить фигурами на плоскости множества, стоящие в левой и правой частях доказываемого равенства.

1. 6. Доказать равенство . Изобразить фигурами на плоскости множества, стоящие в левой и правой частях доказываемого равенства.

1. 7. Пусть заданы два произвольных случайных события  и . Найти все события  такие, что .

1. 8. Доказать равенство .

1. 9. Двое играют в шахматы. Событие  означает, что выиграл первый игрок, событие  – выиграл второй игрок. Что означают события: , , , ,  и ?

1. 10. Из урны, содержащей черные и белые шары, извлечены  шаров. Пусть  – событие, состоящее в том, что i-ый шар белый ( ). Выразить через  следующие события: а) все извлеченные шары окажутся одного цвета; б) среди вынутых шаров есть хотя бы один белый; в) среди n извлеченных шаров только один шар белый; г) среди извлеченных шаров не более k шаров белого цвета ( ); д) среди вынутых шаров, по крайней мере, k шаров белые; е) среди n шаров ровно k белых.

1. 11. Одновременно бросаются три монеты. Событие  – выпадет хотя бы одна " решка", событие  – выпадет хотя бы один " герб". Что означают события ,  и ?

1. 12. Из множества супружеских пар наугад выбирается одна пара. Событие A состоит в том, что мужу больше 30-ти лет, событие B – муж старше жены, событие C – жене больше 30 лет. Что означают события: , , , ,  и ?

1. 13. Событие  заключается в том, что при i-ом измерении некоторой физической величины допущена ошибка. Произведены три независимых измерения. Записать через  событие, состоящее в том, что только в одном из них допущена ошибка.

1. 14. В отдел технического контроля поступило N приборов. Событие  состоит в том, что i-ый прибор является неисправным. Записать через  событие, означающее, что среди N поступивших приборов неисправных нет.

1. 15. Пусть A, B и C – произвольные события, причем . Упростить выражения: а) ; б) ; в) ; г) .

1. 16. Каково условие совместности событий: ,  и ?

1. 17. Мишень состоит из десяти кругов, ограниченных концентрическими окружностями с радиусами . Событие  – попадание в круг радиуса . Что означают события: а) ; б) ; в) .

1. 18. Пусть A и B – произвольные события. Доказать следующие равенства: а) ; б) .

1. 19. Пусть на плоскость, на которой изображены два непересекающихся круга, бросается точка. Событие A – точка попадает в первый круг, событие B – точка попадает во второй круг. Что означают события: , , , , , , ?

1. 20. Проводятся три независимых испытания, в каждом из которых некоторое событие может появиться ( ) или не появиться ( ). Выразить через  и  следующие события: а) событие произошло в первом испытании; б) событие произошло два раза; в) событие произошло не более двух раз.

1. 21. Два лица A и B условились встретиться в определенном месте между 12 и 13 часами. Пришедший первым ждет другого в течение 20 минут, после чего уходит. Изобразить фигурами на плоскости пространство   всех исходов и подпространство  исходов, благоприятствующих встрече, если приход A и B в течение указанного часа происходит " наудачу".

1. 22. Плоскость разграфлена параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстоянии 2a. На плоскость наудачу бросается игла длины . Событие A заключается в том, что игла пересечет какую-нибудь прямую. Изобразить на плоскости событие A и пространство .

1. 23. Доказать, что .

1. 24. Задано двухзначное число. Событие A – число делится на 2, событие B – число делится на 5. Объяснить смысл событий: , , , , , , ?

1. 25. Доказать, что событие  невозможно.

1. 26. Три шара a, b и c размещаются по трем ящикам. Перечислить все возможные исходы испытания.

1. 27. Четыре одинаковых шара размещаются по четырем ящикам. Перечислить все возможные исходы испытания. Выделить событие, когда два ящика остаются свободными.

1. 28. Три игрока a, b и c участвуют в игре по следующей схеме. В первом туре играют а и b, игрок с свободен. Проигравший заменяется игроком с, во втором туре играют победитель и игрок с. Игрок, потерпевший поражение в первом туре, – свободен. В третьем туре играют победитель второго тура и игрок, проигравший в первом туре. Соревнование продолжается таким образом до тех пор, пока один из игроков не выиграет двух партий подряд. В этом случае его объявляют победителем. Перечислить все возможные исходы испытания (возможность ничьей в отдельной партии исключается).

1. 29. Пусть  состоит из  точек , где координаты  принимают значения  или . Пусть , ;  и  – число точек , входящих в . Показать, что .

1. 30. Пусть имеется урна с  различными шарами, отличающимися один от другого тем, что они пронумерованы числами . Предположим, что  из этих шаров – красные и  – чёрные. После каждого извлечения из урны шар возвращается обратно. Тогда результат m извлечений можно записать в виде: , где каждое из  принимает одно из  значений. Следовательно, множество  будет состоять из  элементарных исходов. Пусть  – событие, состоящее в том, что среди вынутых шаров ровно  – красного цвета и  – чёрного. Показать, что .

1. 31. Предположим, что есть m различных шаров, из которых  – первого цвета, ... ,  – s-го цвета ( ). Будем рассматривать выбор с возвращением и обозначать результат n извлечений . Тогда . Обозначим  множество тех , у которых  координат первого цвета и т. д.,  координат s-го цвета ( ). Показать, что .

1. 32. В условиях задачи 1. 30 предположим, что после каждого извлечения вынутый шар в урну не возвращается. Тогда результат m таких извлечений можно представить в виде: ; . Пусть . Тогда , где

.

По-прежнему событие  состоит в том, что среди вынутых шаров ровно  – красного цвета и  – чёрного. Показать, что

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Воспользуйтесь поиском по сайту: