 |
Задачи для самостоятельной работы
|
|
|
|
4. 1. Имеются два одинаковых ящика с шарами. В первом ящике 2 белых и 1 черный шар, во втором – 1 белый и 4 черных шара. Наудачу выбирают один ящик и вынимают из него шар. Какова вероятность, что вынутый шар окажется белым?
4. 2. При помещении в урну тщательно перемешанных n шаров (m белых и n-m черных) один шар неизвестного цвета затерялся. Из оставшихся в урне n-1 шаров наудачу вынимают один шар. Какова вероятность того, что вынутый шар окажется белым?
4. 3. В цехе работают 20 станков. Из них 10 марки A, 6 марки B и 4 марки C. Вероятности того, что качество детали окажется отличным, для этих станков соответственно равны: 0, 9, 0, 8 и 0, 7. Какой процент отличных деталей выпускает цех в целом?
4. 4. Имеются две урны: в первой 3 белых шара и 2 черных, во второй 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую перекладывают наугад два шара. После этого из второй урны берут один шар. Найти вероятность того, что этот шар будет белым.
4. 5. Два стрелка независимо один от другого стреляют по одной мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка 0, 8, для второго – 0, 4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.
4. 6. На фабрике, изготовляющей болты, первая машина производит 25%, вторая – 35%, третья – 40% всех изделий. В их продукции брак составляет соответственно 5%, 4% и 2%.
а) Какова вероятность того, что случайно выбранный болт дефектный?
б) Случайно выбранный из продукции болт оказался дефектным. Какова вероятность того, что он был произведен второй машиной?
4. 7. В пункте проката имеется 10 телевизоров, для которых вероятность исправной работы в течение месяца равна 0, 9, и 5 телевизоров с вероятностью, равной 0, 95. Найти вероятность того, что два телевизора, взятые наудачу в пункте проката, будут работать исправно в течение месяца.
|
|
|
4. 8. В одной урне содержится 1 белый и 2 черных шара, а в другой урне – 2 белых и 3 черных шара. В третью урну кладут два шара из первой урны и два шара из второй.
а) Какова вероятность того, что шар, извлеченный из третьей урны, будет белым?
б) Найти вероятность того, что при выборе с возвращением из третьей урны двух шаров один из них будет белым, а другой – черным.
в) Найти вероятность того, что при выборе без возвращения из третьей урны двух шаров один из них будет черным, а второй – белым.
4. 9. При переливании крови надо учитывать группы крови (ГК) донора и больного. Человеку, имеющему четвертую ГК, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй или третьей ГК можно перелить кровь либо той же группы, либо первой; человеку с первой ГК можно перелить только кровь своей группы. Среди населения 33, 7% имеют 1-ую, 37, 5% – 2-ую, 20, 9% – 3-ю и 7, 9% – 4-ую ГК. Найти вероятность того, что случайно взятому больному можно перелить кровь случайно взятого донора.
4. 10. В стройотряде 70% первокурсников и 30% студентов второго курса. Среди первокурсников 10% девушек, а среди второкурсников – 5% девушек. Все девушки по очереди дежурят на кухне. Найти вероятность того, что в случайно выбранный день на кухне дежурит первокурсница.
4. 11. При рентгеновском обследовании вероятность обнаружить заболевание туберкулезом у больного туберкулезом равна 
. Вероятность принять здорового за больного равна 
. Пусть доля больных туберкулезом по отношению ко всему населению равна 
. Найти условную вероятность того, что человек здоров, если он признан больным при обследовании.
4. 12. Из полного набора костей домино наугад берутся две кости. Определить вероятность того, что вторую кость можно приставить к первой.
|
|
|
4. 13. Для контроля продукции из трех партий деталей взята для испытания одна деталь. Как велика вероятность обнаружения бракованной продукции, если в одной партии 2/3 деталей бракованные, а в двух других – все доброкачественные?
4. 14. Радиолампа может принадлежать к одной из трех партий с вероятностями 0, 25, 0, 5 и 0, 25 соответственно. Вероятности того, что лампа проработает заданное число часов, равны для этих партий 0, 1, 0, 2 и 0, 4. Определить вероятность того, что лампа проработает заданное число часов.
4. 15. Определить вероятность того, что 100 лампочек, взятых наудачу из 1000, окажутся исправными, если известно, что число испорченных лампочек на 1000 штук равно возможно от 0 до 5.
4. 16. В сосуд, содержащий n шаров, опущен белый шар. Какова вероятность извлечь из этого сосуда белый шар, если все предположения о первоначальном числе белых шаров равновозможны?
4. 17. В ящике находятся 15 теннисных мячей, из которых 9 новых. Для первой игры наугад берутся три мяча, которые после игры возвращаются в ящик. Для второй игры также наугад берутся три мяча. Найти вероятность того, что все мячи, взятые для второй игры, новые.
4. 18. В правом кармане имеются три монеты по 20 копеек и четыре монеты по 3 копейки, а в левом – шесть по 20 копеек и три по 3 копейки. Из правого кармана в левый наудачу перекладывают 5 монет. Определить вероятность извлечения из левого кармана после перекладывания монет монеты в 20 копеек, если эта монета берется наудачу.
4. 19. В одной из двух урн, в каждой из которых по 10 шаров, 1 шар отмечен. Играющий имеет право последовательно извлечь 20 шаров из любой урны, каждый раз возвращая извлеченный шар обратно. Как следует вести игру, чтобы вероятность извлечения отмеченного шара была наибольшей, если вероятность того, что отмеченный шар находится в первой урне, равна 2/3?
4. 20. Телеграфное сообщение состоит из сигналов " точка" и " тире". Статистические свойства помех таковы, что искажаются в среднем 2/5 сообщений " точка" и 1/3 сообщений " тире". Известно, что среди передаваемых сигналов " точка" и " тире" встречаются в отношении 5: 3. Определить вероятность того, что передаваемый сигнал принят, если а) принят сигнал " точка"; б) принят сигнал " тире".
|
|
|
4. 21. Известно, что 96% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной стандартную продукцию с вероятностью 0, 98 и нестандартную – с вероятностью 0, 05. Определить вероятность того, что изделие, прошедшее упрощенный контроль, удовлетворяет стандарту.
4. 22. Из двух близнецов первый – мальчик. Какова вероятность, что другой тоже мальчик, если среди близнецов вероятности рождения двух мальчиков и двух девочек соответственно равны a и b, а для разнополых близнецов вероятность родиться первым для обоих полов одинакова?
4. 23. Принимая, что вероятность рождения однополых близнецов вдвое больше, чем разнополых, вероятности рождения близнецов разного пола в любой последовательности одинаковыми, а вероятность рождения в двойне первым мальчика равной 0, 51, определить вероятность рождения второго мальчика, если первым родился мальчик.
4. 24. В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, а во второй – 1 черный и 5 белых шаров. Из каждой урны по схеме случайного выбора без возвращения удалили по одному шару, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну. Найти вероятность того, что шар, вынутый из третьей урны, окажется белым.
4. 25. По каналу связи передается одна из последовательностей букв AAAA, BBBB, CCCC с вероятностями 
. Каждая передаваемая буква принимается правильно с вероятностью и с вероятностями 
и принимается за две другие буквы. Предполагается, что буквы искажаются независимо друг от друга. Найти вероятность того, что было передано AAAA, если принято ABCA.
4. 26. В течение месяца в порт нефтеперерабатывающего завода приходят независимо друг от друга два танкера одинакового тоннажа. Технико-экономические условия для данного завода таковы, что завод может выполнить месячный заказ, если придет хотя бы один из этих танкеров в течение первых пяти суток месяца; завод не выполнит заказ, если в начале месяца не придет ни один танкер. Вероятность прихода каждого танкера в течение первых пяти суток постоянна и равна 0, 1. Доставленная в начале месяца нефть обеспечивает выполнение плана с вероятностью 0, 05, если придет только один танкер, и с вероятностью 0, 2, если придут оба танкера. Завод выполнил план. Определить число танкеров, прибывших в течение первых пяти суток месяца, вероятность которого наибольшая.
|
|
|
4. 27. (Тройственная дуэль) Три человека – назовем их A, B и C – устроили дуэль по следующему правилу. Они бросают жребий, который равновероятно выдает им номера 1, 2 и 3. После этого они поочередно стреляют в порядке своих номеров: N1, N2, N3, N1, N2, ... Каждый раз стреляющий выбирает, в кого он будет стрелять, а убитый, естественно, выбывает из очереди. Дуэль продолжается, пока не останется в живых только один из участников.
Требуется найти для каждого дуэлянта оптимальную тактику поведения и вероятность остаться в живых, если A убивает противника наверняка, B – в 80% случаев, а C – в 50%, и участникам дуэли это известно.
|
|
|
