4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА Основные понятия и теоремы раздела Пусть пространство элементарных событий
попарно непересекающихся событий (гипотез) Теорема (о полной вероятности). Если
Теорема Байеса. Если
Задачи с решениями 1. В урне содержится 4 шара белого и черного цветов. К ним прибавляют 2 белых шара. После этого из урны случайным образом вынимают 3 шара. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, считая равновозможными все предположения о первоначальном содержании урны. Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что вынуты 3 белых шара. Предположения о равновозможном содержании белых и черных шаров в первоначальном составе урны являются гипотезами:
Отсюда 2. В одной урне 5 белых и 6 черных шаров, а в другой – 4 белых и 8 черных шаров. Из первой урны случайным образом вынимают 3 шара и опускают во вторую урну. После этого из второй урны также случайно вынимают 4 шара. Найти вероятность того, что все шары, вынутые из второй урны, белые. Решение. Обозначим через A событие, состоящее в том, что все шары, вынутые из второй урны, белые. Вероятность события A зависит от того, какого цвета будут 3 шара, которые переложены из первой урны во вторую. Здесь возможны следующие гипотезы:
3. В пирамиде стоят 19 винтовок, из них 3 с оптическим прицелом. Стрелок, стреляя из винтовки с оптическим прицелом, может поразить мишень с вероятностью 0, 81, а стреляя из винтовки без оптического прицела, – с вероятностью 0, 46. Найти вероятность того, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки. Решение. Пусть A означает событие, состоящее в том, что стрелок поразит мишень, стреляя из случайно взятой винтовки.
4. В монтажном цехе к устройству присоединяется электродвигатель. Электродвигатели поставляются тремя заводами-изготовителями. На складе имеются электродвигатели названных заводов в количестве 19, 6 и 11 штук соответственно, которые могут безотказно работать до конца гарантийного срока с вероятностями 0, 85, 0, 76 и 0, 71 соответственно. Рабочий берет наугад один двигатель и монтирует его к устройству. Найти вероятности того, что смонтированный и работающий безотказно до конца гарантийного срока электродвигатель поставлен а) первым, б) вторым, в) третьим заводом-изготовителем. Решение. Пусть A – событие, состоящее в том, что наугад взятый и присоединенный к устройству двигатель, будет работать безотказно до конца гарантийного срока;
а) б) в) 5. Из 18 стрелков 5 попадают в мишень с вероятностью 0, 8; 7 – с вероятностью 0, 7; 4 – с вероятностью 0, 6 и 2 – с вероятностью 0, 5. Наудачу выбранный стрелок произвел выстрел и поразил мишень. К какой из групп вероятнее всего принадлежал стрелок? Решение. Чтобы ответить на поставленный вопрос, необходимо определить условные вероятности
Вероятнее всего выстрел произвел стрелок из второй группы, в которой вероятность попадания в мишень равна 0, 7 (хотя, быть может, кому-то показалось, что выстрел произвел стрелок из первой группы, так как вероятность поражения мишени стрелком этой группы равна 0, 8). 6. Предположим, что 5% всех мужчин и 0, 25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо страдает дальтонизмом. Какова вероятность того, что это мужчина? (Считать, что мужчин и женщин одинаковое число). Решение. В предположении о том, что число мужчин и женщин одинаково, вероятности гипотез (
7. Изделие проверяется на стандартность одним из двух товароведов. Вероятность того, что изделие попадет к первому товароведу, равна 0, 55, а ко второму – 0, 45. Вероятность того, что изделие будет признано стандартным для первого товароведа, равна 0, 9, а для второго – 0, 98. При проверке изделие было признано стандартным. Найти вероятность того, что это изделие проверил второй товаровед. Решение. Событие A, состоящее в том, что изделие стандартно, свершилось. Необходимо найти вероятность того, это изделие проверил второй товаровед. Применим формулу Байеса.
8. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием K, 30% – с заболеванием L и 20% – с заболеванием M. Вероятность полного излечения болезни K равна 0, 7; для болезней L и M вероятности соответственно равны 0, 8 и 0, 9. Больной, поступивший в больницу, был выписан здоровым. Найти вероятность того, что этот больной страдал заболеванием K.
Решение. Обозначим через A событие, заключающееся в том, что больной выздоровел, а через K, L и M то, что он страдал одним из трех заболеваний. Для определения искомой вероятности применим формулу Байеса.
9. Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором стоит бензоколонка, относится к числу легковых автомашин, проезжающих по тому же шоссе, как 3: 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0, 1; для легковой машины эта вероятность равна 0, 2. К бензоколонке подъехала машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина. Решение. Так как соотношение грузовых и легковых машин составляет 3: 2, обозначим число грузовых за 3n, а число легковых за 2n машин. Пусть A – событие, означающее, что машина подъехала к бензоколонке,
10. Вероятность того, что во время работы ЭВМ произойдет сбой в арифметическом устройстве (АУ), в оперативной памяти (ОП), в остальных устройствах (ОУ), относятся как 3: 2: 5. Вероятности обнаружения сбоя в АУ, ОП и в ОУ соответственно равны 0, 8, 0, 9 и 0, 9. Найти вероятность того, что возникший в машине сбой будет обнаружен. Решение. Пусть A – событие, означающее, что сбой будет обнаружен;
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|