5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики
5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Основные понятия раздела Случайная величина – это переменная, которая в результате опыта Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только конечное или счетное множество значений. Всякое соотношение, устанавливающее зависимость между возможными значениями СВ и их вероятностями, называется законом распределения вероятностей (ЗРВ). ЗРВ дискретной случайной величины можно представить в виде графика, таблицы или задать аналитически (ряд распределения, функция распределения). Пусть X – случайная величина, а x – произвольное действительное число. Вероятность того, что X примет значение, меньшее чем x, называется функцией распределения вероятностей СВ X
Основные свойства функции распределения вероятностей. F1. Свойство монотонности: Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. F2. Свойство ограниченности: F3. Свойство непрерывности слева: Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число
если существует (абсолютно сходится) сумма (*). Основные свойства математического ожидания. М1. Математическое ожидание константы равняется самой константе: М2. Математическое ожидание от суммы случайных величин равняется сумме математических ожиданий этих величин: М3. Математическое ожидание ограниченной случайной величины ограничено: если
М4. Если М5. Для произвольной функции М6. Если Моментом k-го порядка случайной величины X относительно константы С называется математическое ожидание При
При
Факториальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата уклонения X от ее математического ожидания
Нетрудно убедиться, что Величина Основные свойства дисперсии. D1. Дисперсия – величина неотрицательная: D2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: D3. Дисперсия суммы независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий: Задачи с решениями 1. Случайная величина X задана рядом распределения:
Требуется: а) построить многоугольник распределения; б) построить функцию распределения и начертить ее график; в) найти вероятность того, что величина X примет значение, непревосходящее по абсолютной величине 1. Решение.
а) Многоугольник распределения представляет собой графическое изображение ряда распределения (Рис. 5. 1).
б) По определению
Построим график функции распределения вероятностей случайной величины X (Рис. 5. 2). в) Используя свойства функции распределения, находим искомую вероятность 2. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынимается 2 шара. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей величины X. Решение. Вынимается 2 шара. Здесь возможны следующие ситуации: оба шара черные, один черный и один белый, оба шара белые. Следовательно, случайная величина X может принимать три значения: 0, 1, 2. Найдем вероятности, с которыми эти значения принимаются.
Условие нормировки выполняется: Запишем ряд распределения вероятностей:
Построим функцию распределения заданной случайной величины на основе ее определения: 3. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X – числа попаданий мячом в корзину при двух независимых бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0, 4. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины. Решение. Заданная случайная величина принимает три значения: 0, 1, 2 со следующими вероятностями:
Условие нормировки выполняется: Ряд распределения выглядит следующим образом:
Функция распределения имеет вид: Заданная случайная величина является дискретной. Математическое ожидание дискретной величины определяется как сумма произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения принимаются. Тогда Используя свойства математического ожидания и определение дисперсии, находим 4. Из партии в 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа X бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти начальные, центральные и факториальные моменты четырех первых порядков. Решение. Случайная величина X может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Определим соответствующие вероятности:
Условие нормировки выполняется: Ряд распределения выглядит следующим образом:
По определению начальный момент k-ого порядка есть математическое ожидание случайной величины в степени k, т. е.
По определению центральный момент k-ого порядка есть величина, определяемая по формуле:
Факториальный момент k-ого порядка определяется следующим образом:
5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны соответственно 2 и 10. Найти математическое ожидание и дисперсию величины Решение. Зная свойства математического ожидания и дисперсии для линейного преобразования случайной величины, находим:
6. Найти широту и среднеквадратическое отклонение случайной величины, заданной рядом распределения:
Решение. По определению широта есть разность между максимальным и минимальным значениями случайной величины. Обозначив широту через Среднеквадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии. Найдем дисперсию по формуле Отсюда получаем 7. Найти математическое ожидание и дисперсию: а) числа очков, выпадающих при бросании одной симметричной игральной кости; б) суммы очков, выпадающих при бросании n игральных костей. Решение. а) Прежде, чем найти математическое ожидание и дисперсию, запишем закон распределения вероятностей данной случайной величины:
б) Обозначим через Y случайную величину, представляющую собой сумму из n величин X. Зная, что математическое ожидание суммы случайных величин равняется сумме математических ожиданий этих величин, получаем Величины, образующие Y, независимы (по условию эксперимента). В этом случае дисперсия также равняется сумме дисперсий, т. е. 8. Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 40 билетов, причем вероятность выигрыша равна 0, 05.
Решение. Случайная величина X – число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами:
9. Распределение дискретной случайной величины X определяется формулой:
Найти постоянную C и вероятность Решение. Постоянную C находим из условия нормировки:
Вынесем C за знак суммы и преобразуем равенство к следующему виду:
Следовательно, Найдем теперь вероятность события, состоящего в том, что X примет значение, большее или равное 3:
10. Случайные величины X и Y независимы, причем Решение. Зная свойства математического ожидания и дисперсии, находим:
Воспользуйтесь поиском по сайту: ![]() ©2015 - 2025 megalektsii.ru Все авторские права принадлежат авторам лекционных материалов. Обратная связь с нами...
|