Главная | Обратная связь | Поможем написать вашу работу!

5. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики

5. ДИСКРЕТНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Основные понятия раздела

Случайная величина – это переменная, которая в результате опыта может принять то или иное числовое значение в зависимости от случайных обстоятельств, которые выпадают из круга рассматриваемых условий , но сопутствующих каждому испытанию.

Случайная величина называется дискретной, если она может принимать только конечное или счетное множество значений.

Всякое соотношение, устанавливающее зависимость между возможными значениями СВ и их вероятностями, называется законом распределения вероятностей (ЗРВ). ЗРВ дискретной случайной величины можно представить в виде графика, таблицы или задать аналитически (ряд распределения, функция распределения).

Пусть X – случайная величина, а x – произвольное действительное число. Вероятность того, что X примет значение, меньшее чем x, называется функцией распределения вероятностей СВ X

Основные свойства функции распределения вероятностей.

F1. Свойство монотонности: Функция распределения есть неубывающая функция, т. е. , если .

F2. Свойство ограниченности: .

F3. Свойство непрерывности слева: .

Математическим ожиданием дискретной случайной величины X называется число

, (*)

если существует (абсолютно сходится) сумма (*).

Основные свойства математического ожидания.

М1. Математическое ожидание константы равняется самой константе: , где c– константа.

М2. Математическое ожидание от суммы случайных величин равняется сумме математических ожиданий этих величин: .

М3. Математическое ожидание ограниченной случайной величины ограничено: если , то . Всегда .

М4. Если и , то с вероятностью единица.

М5. Для произвольной функции случайная величина имеет математическое ожидание , если ряд существует (сходится абсолютно).

М6. Если и – взаимно независимые случайные величины с конечными математическими ожиданиями, то их произведение является случайной величиной с конечным математическим ожиданием: .

Моментом k-го порядка случайной величины X относительно константы С называется математическое ожидание .

При момент называют центральным и обозначают:

При момент называют начальным и обозначают:

Факториальным моментом k-го порядка случайной величины X называется математическое ожидание .

Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата уклонения X от ее математического ожидания

Нетрудно убедиться, что .

Величина называется стандартным уклонением: .

Основные свойства дисперсии.

D1. Дисперсия – величина неотрицательная: . Дисперсия постоянной равняется нулю: тогда и только тогда, когда , где С – константа.

D2. Постоянный множитель выносится за знак дисперсии в квадрате: . Постоянное слагаемое не влияет на величину дисперсии этой величины: .

D3. Дисперсия суммы независимых случайных величин X и Y равна сумме их дисперсий:

Задачи с решениями

1. Случайная величина X задана рядом распределения:

X	-2	-1
P	0, 1	0, 2	0, 2	0, 4	0, 1

Требуется: а) построить многоугольник распределения; б) построить функцию распределения и начертить ее график; в) найти вероятность того, что величина X примет значение, непревосходящее по абсолютной величине 1.

Решение.

а) Многоугольник распределения представляет собой графическое изображение ряда распределения (Рис. 5. 1).

б) По определению . Для построения функции распределения в качестве x будем брать значения X из заданного ряда распределения. Тогда в соответствии с определением имеем:

Построим график функции распределения вероятностей случайной величины X (Рис. 5. 2).

в) Используя свойства функции распределения, находим искомую вероятность

2. В урне 5 белых и 25 черных шаров. Вынимается 2 шара. Случайная величина X – число вынутых белых шаров. Построить ряд распределения и функцию распределения вероятностей величины X.

Решение. Вынимается 2 шара. Здесь возможны следующие ситуации: оба шара черные, один черный и один белый, оба шара белые. Следовательно, случайная величина X может принимать три значения: 0, 1, 2. Найдем вероятности, с которыми эти значения принимаются.

; ; .

Условие нормировки выполняется: .

Запишем ряд распределения вероятностей:

X
P	0, 69	0, 29	0, 02

Построим функцию распределения заданной случайной величины на основе ее определения:

3. Построить ряд распределения и функцию распределения случайной величины X – числа попаданий мячом в корзину при двух независимых бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0, 4. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Решение. Заданная случайная величина принимает три значения: 0, 1, 2 со следующими вероятностями:

;

Условие нормировки выполняется: .

Ряд распределения выглядит следующим образом:

X
P	0, 36	0, 48	0, 16

Функция распределения имеет вид:

Заданная случайная величина является дискретной. Математическое ожидание дискретной величины определяется как сумма произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения принимаются. Тогда .

Используя свойства математического ожидания и определение дисперсии, находим .

4. Из партии в 25 изделий, среди которых имеются 6 бракованных, выбраны случайным образом 3 изделия для проверки их качества. Построить ряд распределения случайного числа X бракованных изделий, содержащихся в выборке. Найти начальные, центральные и факториальные моменты четырех первых порядков.

Решение. Случайная величина X может принимать следующие значения: 0, 1, 2, 3. Определим соответствующие вероятности:

; ;

; .

Условие нормировки выполняется: .

Ряд распределения выглядит следующим образом:

X
P	0, 421	0, 446	0, 124	0, 009

По определению начальный момент k-ого порядка есть математическое ожидание случайной величины в степени k, т. е. . Используя эту формулу, находим:

;

По определению центральный момент k-ого порядка есть величина, определяемая по формуле: . На основе этой формулы и результатов вычисления находим:

;

Факториальный момент k-ого порядка определяется следующим образом: . Отсюда находим:

;

5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины X равны соответственно 2 и 10. Найти математическое ожидание и дисперсию величины .

Решение. Зная свойства математического ожидания и дисперсии для линейного преобразования случайной величины, находим:

;

6. Найти широту и среднеквадратическое отклонение случайной величины, заданной рядом распределения:

X
P	0, 4	0, 3	0, 2	0, 1

Решение. По определению широта есть разность между максимальным и минимальным значениями случайной величины. Обозначив широту через , находим .

Среднеквадратическое отклонение есть корень квадратный из дисперсии. Найдем дисперсию по формуле .

Отсюда получаем .

7. Найти математическое ожидание и дисперсию: а) числа очков, выпадающих при бросании одной симметричной игральной кости; б) суммы очков, выпадающих при бросании n игральных костей.

Решение.

а) Прежде, чем найти математическое ожидание и дисперсию, запишем закон распределения вероятностей данной случайной величины:

X
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

;

б) Обозначим через Y случайную величину, представляющую собой сумму из n величин X. Зная, что математическое ожидание суммы случайных величин равняется сумме математических ожиданий этих величин, получаем .

Величины, образующие Y, независимы (по условию эксперимента). В этом случае дисперсия также равняется сумме дисперсий, т. е. .

8. Найти математическое ожидание и дисперсию числа лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, если приобретено 40 билетов, причем вероятность выигрыша равна 0, 05.

Решение. Случайная величина X – число лотерейных билетов, на которые выпадут выигрыши, подчиняется биномиальному закону распределения с параметрами: и . Зная свойства этого распределения, находим ;